Determine o logaritmo na base 10 de $10^5$, indicando a magnitude de um fenômeno.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o logaritmo na base 10 de 10^{5} e “indicar a magnitude de um fenômeno” associado a esse valor.
Informações fornecidas: o número cujo logaritmo devemos calcular é 10^{5}.
Perguntas explícitas:
  1. Qual é \log_{10}\!\bigl(10^{5}\bigr)?
  2. Qual é a magnitude (ordem de grandeza) correspondente a 10^{5}?

Passo 2

O que é logaritmo (explicação didática):
Definição: para bases positivas diferentes de 1, dizemos que
\log_{b}(a)=c \iff b^{c}=a.
Aqui b é a base do logaritmo, a é o número cujo logaritmo queremos e c é o resultado (o expoente). Por exemplo, se b=10 e a=1000, então \log_{10}(1000)=3 porque 10^{3}=1000.
Propriedade útil (que usamos muito em provas): para qualquer base b,
\log_{b}\bigl(b^{x}\bigr)=x.
Isso acontece porque, pela definição, se \log_{b}(b^{x})=y então b^{y}=b^{x}, logo y=x (igualdade de expoentes quando as bases são iguais).

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso pedido: temos base 10 e argumento 10^{5}. Pelo resultado do passo anterior,
\log_{10}\!\bigl(10^{5}\bigr)=5.
Outro modo de ver (passo a passo): seja y=\log_{10}\!\bigl(10^{5}\bigr). Pela definição do logaritmo temos 10^{y}=10^{5}. Como as potências têm a mesma base 10, os expoentes têm de ser iguais, então y=5.

Passo 4

O que significa “indicar a magnitude (ordem de grandeza)” — explicação didática:
Quando falamos em ordem de grandeza em base 10, normalmente nos referimos ao expoente n em números do tipo 10^{n}. Se um valor é exatamente 10^{n}, dizemos que sua ordem de grandeza (ou magnitude, no sentido de expoente) é n.
No caso de um número genérico x não exato, uma forma de associar a ordem de grandeza é considerar \lfloor\log_{10}(x)\rfloor (a parte inteira do logaritmo) ou arredondar \log_{10}(x) conforme o critério do problema. Exemplos rápidos: \log_{10}(100)=2 então 100=10^{2} tem magnitude 2. Para 450, \log_{10}(450)\approx2,65, a parte inteira é 2, então 450 está na ordem de 10^{2}.
No nosso caso, como o número é exatamente 10^{5}, a magnitude (ordem de grandeza) é simplesmente 5.

Passo 5

Interpretação prática e exemplos curtos para fixar:
  • Se um fenômeno tem intensidade 10^{5}, significa que ele está na “escala” dos cem mil (100000) — cinco ordens de magnitude acima de 10^{0}=1.
  • Exemplos rápidos: \log_{10}(10^{3})=3 (mil tem magnitude 3); \log_{10}(10^{-2})=-2 (0,01 tem magnitude −2).

Resposta

\log_{10}\!\bigl(10^{5}\bigr)=5
Magnitude (ordem de grandeza): 5

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