Determine o logaritmo na base 10 de $10^5$, indicando a magnitude de um fenômeno.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o logaritmo na base 10 de
e “indicar a magnitude de um fenômeno” associado a esse valor.
Informações fornecidas: o número cujo logaritmo devemos calcular é .
Perguntas explícitas:
Informações fornecidas: o número cujo logaritmo devemos calcular é
Perguntas explícitas:
- Qual é
? - Qual é a magnitude (ordem de grandeza) correspondente a
?
Passo 2
O que é logaritmo (explicação didática):
Definição: para bases positivas diferentes de 1, dizemos que
Definição: para bases positivas diferentes de 1, dizemos que
Aqui
é a base do logaritmo,
é o número cujo logaritmo queremos e
é o resultado (o expoente). Por exemplo, se
e
, então
porque
.
Propriedade útil (que usamos muito em provas): para qualquer base ,
Propriedade útil (que usamos muito em provas): para qualquer base
Isso acontece porque, pela definição, se
então
, logo
(igualdade de expoentes quando as bases são iguais).
Passo 3
Aplicando a propriedade ao caso pedido: temos base
e argumento
. Pelo resultado do passo anterior,
Outro modo de ver (passo a passo): seja
. Pela definição do logaritmo temos
. Como as potências têm a mesma base
, os expoentes têm de ser iguais, então
.
Passo 4
O que significa “indicar a magnitude (ordem de grandeza)” — explicação didática:
Quando falamos em ordem de grandeza em base 10, normalmente nos referimos ao expoente em números do tipo
. Se um valor é exatamente
, dizemos que sua ordem de grandeza (ou magnitude, no sentido de expoente) é
.
No caso de um número genérico não exato, uma forma de associar a ordem de grandeza é considerar
(a parte inteira do logaritmo) ou arredondar
conforme o critério do problema. Exemplos rápidos:
então
tem magnitude
. Para
,
, a parte inteira é
, então 450 está na ordem de
.
No nosso caso, como o número é exatamente , a magnitude (ordem de grandeza) é simplesmente
.
Quando falamos em ordem de grandeza em base 10, normalmente nos referimos ao expoente
No caso de um número genérico
No nosso caso, como o número é exatamente
Passo 5
Interpretação prática e exemplos curtos para fixar:
- Se um fenômeno tem intensidade
, significa que ele está na “escala” dos cem mil (100000) — cinco ordens de magnitude acima de . - Exemplos rápidos:
(mil tem magnitude 3); (0,01 tem magnitude −2).
Resposta
Magnitude (ordem de grandeza):