Determine m in R tal que o vetor v=(1,-m, 3) seja uma combinação linear dos vetores v1= (1,0,2) e v2=(1,1,1) e v3=(2,-1,5) (Apresente todos os cálculos, principalmente a combinação e a construção do sistema de equações lineares. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede para achar minR tal que o vetor
v = (1,,-m,,3)
seja combinação linear dos vetores
v1=(1,0,2), v2=(1,1,1), v3=(2,-1,5)
O conteúdo usado é Álgebra Linear: testar pertença a um subespaço gerado por vetores, montando um sistema linear para os coeficientes da combinação.

Passo 2

Suponha que existam escalares lambda1,lambda2,lambda3 tais que
lambda1,v1 + lambda2,v2 + lambda3,v3 ;=; v
Em coordenadas, isso significa
lambda1(1,0,2) + lambda2(1,1,1) + lambda3(2,-1,5) ;=;(1,-m,3)

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
lambda1 + lambda2 + 2lambda3 = 1, 0cdotlambda1 + lambda2 - lambda3 = -m, 2lambda1 + lambda2 + 5lambda3 = 3

Passo 4

Da segunda equação vem
lambda2 - lambda3 = -m Longrightarrow lambda2 = lambda3 - m
Substituindo na primeira:
lambda1 + (lambda3 - m) + 2lambda3 = 1 Longrightarrow lambda1 = 1 + m - 3lambda3
Agora, colocamos lambda1 e lambda2 na terceira equação:
2(1 + m - 3lambda3) + (lambda3 - m) + 5lambda3 = 3
Distribuindo e somando termos em lambda3 e m:
2 + 2m -6lambda3 + lambda3 - m +5lambda3 = 3 Longrightarrow 2 + m + 0cdotlambda3 = 3 Longrightarrow m = 1

Passo 5

Portanto, a condição para existir combinação é
m = 1
Se quisermos um exemplo de coeficientes, basta escolher, por exemplo, lambda3=0. Então
lambda2 = 0 - 1 = -1, lambda1 = 1 + 1 - 3cdot 0 = 2,
e de fato
2,v1 -1,v2 +0,v3 = 2(1,0,2) - (1,1,1) = (2-1,;0-1,;4-1) = (1,-1,3),
que coincide com (1,-m,3) para m=1.

Resposta

m = 1.

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