Determinar quais subconjuntos dos R^n são subespaços:
x1, x2, ldots, xn / x1 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x1,x2,dots,xn)in R^n mid x1>= 0
é um subespaço de R^n. Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial que exige:
  1. 0in S.
  2. Se u,vin S então u+vin S.
  3. Se uin S e alphainR então alphauin S.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo está em S. No vetor nulo 0=(0,0,dots,0) temos 0>= 0, logo
0in S

Passo 3

Verificamos a soma de dois vetores em S. Se u,vin S, então u1>=0 e v1>=0. Assim
(u+v)1 = u1 + v1 >= 0 + 0 = 0,
portanto u+vin S. A soma está fechada em S.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por escalar. Tome uin S com u1>0 e o escalar alpha=-1. Então
(alphau)1 = -1cdot u1 = -u1 < 0,
logo alphaunotin S. Falha a condição de fechamento pela multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto S=(x1,dots,xn)mid x1>=0 não é subespaço de R^n.

Exercícios relacionados