Seja
. Mostre que
é subespaço de
, onde :
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso precisamos verificar três propriedades:
-
(normalmente exibindo o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de
pertence a
. O vetor zero em
é
. Como podemos escrever
com
e
, concluímos que
.
Passo 3
Verificamos fechamento sob soma. Sejam
Então
Como
e
são números reais,
tem a forma
e, portanto,
.
Passo 4
Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
Então
Como
e
são reais, segue que
também está em
.
Passo 5
Concluímos que
não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Logo, pelos critérios de subespaço,
é de fato um subespaço de
.