Seja V=R^3. Mostre que W é subespaço de V, onde :
W=(a, b, 0) / a, b in R

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
W = (a,b,0)mid a,binR
Queremos mostrar que W é subespaço de V. Para isso precisamos verificar três propriedades:
  1. Wneqvarnothing (normalmente exibindo o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de V pertence a W. O vetor zero em R^3 é (0,0,0). Como podemos escrever
(0,0,0)=(a,b,0)
com a=0 e b=0, concluímos que (0,0,0)in W.

Passo 3

Verificamos fechamento sob soma. Sejam
u=(a1,b1,0)in W e v=(a2,b2,0)in W
Então
u+v = (a1,b1,0) + (a2,b2,0) = (a1 + a2,; b1 + b2,; 0+0) = (a1 + a2,; b1 + b2,; 0)
Como a1+a2 e b1+b2 são números reais, u+v tem a forma (a,b,0) e, portanto, u+vin W.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e
u=(a,b,0)in W
Então
alpha,u = alpha,(a,b,0) = (alpha a,;alpha b,;alphacdot 0) = (alpha a,;alpha b,;0)
Como alpha a e alpha b são reais, segue que alpha u também está em W.

Passo 5

Concluímos que W não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Logo, pelos critérios de subespaço, W é de fato um subespaço de R^3.

Resposta

W é um subespaço de V=R^3.

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