Determine m para que \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1, semdo
f(x)=\left\{\begin{array}{l} m \text { se }|x| \leqslant 3 \\\\ 0 \text { se }|x|>3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede encontrar o valor de m de modo que
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 1,
onde
f(x)= \begin{cases} m,&\text{se }|x|\le 3,\\\\ 0,&\text{se }|x|>3. \end{cases}
O conteúdo aqui é integração de função por partes e normalização de uma densidade de probabilidade.

Passo 2

Como f(x)=0 para |x|>3, a integral em (-\infty,+\infty) reduz-se à integral em [-3,3]:
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx =\int_{-3}^{3}m\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral constante:
\int_{-3}^{3}m\,dx =m\bigl[x\bigr]_{-3}^{3} =m\bigl(3-(-3)\bigr) =6m.

Passo 4

Impondo a condição de normalização 6m=1, obtemos
m=\frac{1}{6}.

Resposta

m=\frac{1}{6}

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