Atividade 2 (AT2) - 18/09/2025 - Transferência de Calor e Massa (TCET5A) - Análise de Erros
Na empresa que você trabalha há uma tubulação de aço inoxidável (AISI 304), cuja condutividade térmica é 43 W /(\mathrm{mK}), que transporta vapor a uma temperatura de 156^{\circ} \mathrm{C}, de forma que o ambiente no qual este duto se encontra está a 20^{\circ} \mathrm{C}.
Esta tubulação possui um diâmetro externo de 15 cm e uma espessura de 3 cm . O coeficiente de transferência de calor por conveçâo do lado externo do duto è igual a 25 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). No interior do duto, a convecçăo pode ser desprezada, de forma que a temperatura da superficie interna da tubulação é a mesma do vapor.
Sabe-se que o custo para repor o calor perdido pelo vapor é de R \ 5 a cada10^{9}$ J de calor. Seu chefe te mostra um orçamento de uma empresa que instala isolamentos. Esse documento diz que há um custo de R 200 para se instalar um isolamento de 10 cm de espessura de fibra de vidro (com resina orgánica), cuja condutividade térmica è 0.059 W/(mK). Considere que a superficie da tubulação e do isolamento possuem baixa emissividade, de forma que a transferència de calor por radiação pode ser desprezada.
Dica: utilize, como base de cálculo, um comprimento de 1 m de tubulação.
(a) Calcule a taxa de transferência de calor do vapor para o ambiente, antes da instalação do isolamento.
Proposta de resolução Há algum erro na resolução? Qual? Caso haja algum erro, proponha uma resolução correta.
\mathrm{R}_{\text {cond,tub }}
\mathrm{R}_{\text {conv }}
R_{\text {cond.tub }}=\frac{\ln \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2 \pi k_{\text {acol }} L}=\frac{\ln \left(\frac{15 \mathrm{~cm}}{3 \mathrm{~cm}}\right)}{2 \pi \cdot 43 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{mK}} \cdot 1 \mathrm{~m}}=0,005957 \mathrm{~K} / \mathrm{W}
R_{\text {conv }}=\frac{1}{h A}=\frac{1}{h \pi r_{2}^{2}}=\frac{1}{25 \frac{W}{m^{2} K} \cdot \pi(0,15 m)^{2}}=0.5659 \mathrm{~K} / \mathrm{W}
\dot{q}=\frac{\Delta T}{R_{\text {cond.tub }}+R_{\text {conv }}}=\frac{(20-156)^{\circ} \mathrm{C}}{\frac{(0,005957+0,5659) \mathrm{K}}{W}}
\dot{q}=-237,82 \mathrm{~W}
(b) Calcule qual o custo anual gasto para repor o calor perdido pelo vapor, para a situação do item (a), Considere que a linha de vapor funciona todos os dias do ano.
Proposta de resolução Há algum erro na resolução? Qual? Caso haja algum erro, proponha uma resolução correta.
237,82 \mathrm{~W}=237,82 \mathrm{~J} / \mathrm{s}. Em um ano: \left.273,32 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~s}} \cdot 1 \text { ano } \cdot 365 \frac{\text { dias }}{1 \text { ano }} \cdot \frac{24 h}{1 \text { dia }}, \frac{3600 \mathrm{~s}}{1 h}=8,62 \times 10^{9}\right)
Como săo gastos R$5 para repor cada 10^{9} \mathrm{~J} de calor perdido: \begin{array}{ll} R \$5 \cdots \cdots 10^{9} j & x=R \$ 8,62 \\\ x \cdots \cdots 10^{9} j & \end{array}
(c) Calcule a taxa de transferencia de calor do vapor para 0 ambiente, depois da instalaçăo do isolamento.
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline Proposta de resolução & Há algum erro na resolução? Qual? & Caso haja algum erro, proponha uma resolução correta. \
\hline 156^{\circ} \mathrm{C} & & \
\hline R_{\text {cond tub }}=\frac{\ln \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2 \pi k_{a, o} L}=\frac{\ln \left(\frac{15 \mathrm{~cm}}{3 \mathrm{~cm}}\right)}{2 \pi \cdot 43 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{mK}} \cdot 1 \mathrm{~m}}=0,005957 \mathrm{~K} / \mathrm{W}
R_{\text {conv }}=\frac{1}{h A}=\frac{1}{h \pi r_{2}^{2}}=\frac{1}{25 \frac{W}{m^{2} K}-\pi(0,15 m)^{2}}=0,5659 \mathrm{~K} / \mathrm{W} & & \
\hline \dot{q}=\frac{\Delta T}{R_{\text {cond_tub }}+R_{\text {conv }}+R_{\text {cond_Isol }}}
q=\frac{(20-156)^{\circ} \mathrm{C}}{(0,005957+0.5659+3,2478) K / W}=-35,63 W & & \
\hline
\end{tabular}
(d) Calcule qual o custo anual gasto para repor o calor perdido pelo vapor, para a situação do tem (b).
Considere que a linha de vapor funciona todos os dias do ano.
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline Proposta de resolução & Hà algum erro na resolução? Qual? & Caso haja algum erro, proponha uma resolução correta. \
\hline \begin{tabular}{l}
35,63 \mathrm{~W}=35,63 \mathrm{~J} / \mathrm{s}. Em um ano:
35,63 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~s}} \cdot 1 \text { ano } \cdot 365 \frac{\text { dias }}{1 \text { ano }} \cdot \frac{24 h}{1 \text { dia }} \cdot \frac{3600 \mathrm{~s}}{1 h}=1,12 \times 10^{9} \mathrm{~J} \
Como săo gastos R$5 para repor cada 10^{9} \mathrm{~J} de calor perdido:
\begin{aligned} & R \$ 5 \ldots \ldots-10^{9} \mathrm{~J} \\\ & \begin{array}{r} x \\\ x \end{array} \cdots\left(1,12 \times 10^{9} \mathrm{~J}\right. \end{aligned}
x=\operatorname{R} \$ 1,12
\end{tabular} & & \
\hline
\end{tabular}
(e) Quál é a economia, em reais, obtida com a instalaçăo do isolamento?
Proposta de resolução Há algum erro na resolução? Qual? Caso haja algum erro, proponha uma resolução correta.
A economia é dada por: R$8,62-R$ 1,12=R$ 7,50
(f) Qual o tempo de retorno do investimento gasto na instalaçăo do isolamento?
Proposta de resolução Há algum erro na resolução? Qual? Caso haja algum erro, proponha uma resoluçăo correta.
Como são economizados R$7,50 por ano e o custo de instalação do isolamento é de R$ 200:
R$ 7,50 --..... 1 ano x=26,67 \text { anos }
R$200 \qquad x
(a) Calcule a taxa de transferência de calor do vapor para o ambiente, antes da instalação do isolamento.
(b) Calcule qual o custo anual gasto para repor o calor perdido pelo vapor, para a situação do item (a), Considere que a linha de vapor funciona todos os dias do ano.
(c) Calcule a taxa de transferencia de calor do vapor para 0 ambiente, depois da instalaçăo do isolamento.
(d) Calcule qual o custo anual gasto para repor o calor perdido pelo vapor, para a situação do tem (b).
Considere que a linha de vapor funciona todos os dias do ano.
(e) Quál é a economia, em reais, obtida com a instalaçăo do isolamento?
(f) Qual o tempo de retorno do investimento gasto na instalaçăo do isolamento?

Passo 1

O enunciado trata de uma tubulação cilíndrica de aço inox AISI 304 (condutividade k=43\\ \mathrm{W/(mK)}) transportando vapor a T_i=156^\circ\mathrm{C} em ambiente a T_\infty=20^\circ\mathrm{C}. O tubo tem diâmetro externo D_2=0,15\\ \mathrm{m}, espessura t=0,03\\ \mathrm{m} e comprimento de referência L=1\\ \mathrm{m}. Do lado externo, o coeficiente convectivo é h=25\\ \mathrm{W/(m^2K)}. No interior, a convecção é desprezada, logo a parede interna está a 156^\circ\mathrm{C}. Vamos modelar a resistência térmica em série: condução na parede do tubo R_{\mathrm{cond,tub}}, depois convecção externa R_{\mathrm{conv}}. Com isolamento adiciona-se R_{\mathrm{cond,iso}}.

Passo 2

(a) Erros na proposta original:
  • Usaram raio interno r_1=3\\ \mathrm{cm}, mas o correto é
r_2 = \frac{D_2}{2} = 0{,}075\\ \mathrm{m},\quad r_1 = r_2 - t = 0{,}075 - 0{,}03 = 0{,}045\\ \mathrm{m}.
  • Para convecção externa usaram área \pi r_2^2, mas o calor escapa pela superfície lateral A_s = 2\pi r_2 L.
Resolução correta de (a):
  1. Resistência por condução na parede do tubo:
R_{\mathrm{cond,tub}} = \frac{\ln\!\bigl(r_2/r_1\bigr)}{2\pi k L} = \frac{\ln(0{,}075/0{,}045)}{2\pi\cdot 43 \cdot 1} \approx 0{,}00189\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistência por convecção externa:
R_{\mathrm{conv}} = \frac{1}{h\,A_s} = \frac{1}{25\cdot (2\pi\cdot 0{,}075\cdot 1)} \approx 0{,}0849\\ \mathrm{K/W}.
  1. Soma das resistências e fluxo:
R_{\mathrm{tot}} = 0{,}00189 + 0{,}0849 = 0{,}0868\\ \mathrm{K/W}, \quad \dot q = \frac{T_i - T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}} = \frac{156 - 20}{0{,}0868} \approx 1{,}568\times 10^3\\ \mathrm{W}.

Passo 3

(b) Erros na proposta de cálculo de custo anual:
  • Usaram fluxo errado 237{,}8\\ \mathrm{W} em vez de 1{,}568\times10^3\\ \mathrm{W}.
  • Montaram conversão de tempo de forma confusa.
Resolução correta de (b):
  1. Energia perdida em um ano ( 365 dias):
E_{\mathrm{ano}} = \dot q \times (365\cdot24\cdot3600) = 1{,}568\times10^3\\ \mathrm{W} \;\times 31{,}536\times10^6\\ \mathrm{s} \approx 4{,}945\times10^{10}\\ \mathrm{J}.
  1. Custo, dado que custa R$ 5 por 10^9\\ \mathrm{J}:
C_{\mathrm{antes}} = 5\\ \frac{\mathrm{R\$}}{10^9\\ \mathrm{J}}\times 4{,}945\times10^{10}\\ \mathrm{J} \approx 247{,}3\\ \mathrm{R\$}.

Passo 4

(c) Erros na proposta com isolamento:
  • Repetiram r_1 e r_2 errados.
  • Não calcularam corretamente r_3 nem a nova área de convecção.
Resolução correta de (c):
  1. Raio externo do isolamento:
r_3 = r_2 + 0{,}10 = 0{,}075 + 0{,}10 = 0{,}175\\ \mathrm{m}.
  1. Resistência do isolamento k_{\mathrm{iso}}=0{,}059\\ \mathrm{W/(mK)}:
R_{\mathrm{cond,iso}} = \frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_{\mathrm{iso}} L} = \frac{\ln(0{,}175/0{,}075)}{2\pi\cdot0{,}059\cdot1} \approx 2{,}287\\ \mathrm{K/W}.
  1. Nova convecção externa:
R'_{\mathrm{conv}} = \frac{1}{h\,(2\pi r_3 L)} = \frac{1}{25\cdot(2\pi\cdot0{,}175\cdot1)} \approx 0{,}0364\\ \mathrm{K/W}.
  1. Fluxo com isolamento:
R'_{\mathrm{tot}} = 0{,}00189 + 2{,}287 + 0{,}0364 \approx 2{,}325\\ \mathrm{K/W}, \quad \dot q' = \frac{136}{2{,}325} \approx 58{,}52\\ \mathrm{W}.

Passo 5

(d) Custo anual após isolamento:
E'_{\mathrm{ano}} = 58{,}52\\ \mathrm{W}\times 31{,}536\times10^6\\ \mathrm{s} \approx 1{,}846\times10^9\\ \mathrm{J},
C_{\mathrm{depois}} = 5\\ \frac{\mathrm{R\$}}{10^9\\ \mathrm{J}}\times 1{,}846\times10^9\\ \mathrm{J} \approx 9{,}23\\ \mathrm{R\$}.

Passo 6

(e) Economia anual com o isolamento:
\Delta C = C_{\mathrm{antes}} - C_{\mathrm{depois}} = 247{,}3 - 9{,}23 \approx 238{,}1\\ \mathrm{R\$}/\mathrm{ano}.

Passo 7

(f) Tempo de retorno do investimento (custo de R$ 200):
t_{\mathrm{payback}} = \frac{200\\ \mathrm{R\$}}{238{,}1\\ \mathrm{R\$}/\mathrm{ano}} \approx 0{,}84\\ \mathrm{ano} \quad(\approx10\\ \mathrm{meses}).

Resposta

(a) \dot q\approx1{,}568\times10^3\\ \mathrm{W}
(b) Custo anual sem isolamento \approx247{,}3\\ \mathrm{R\$}
(c) \dot q'\approx58{,}52\\ \mathrm{W}
(d) Custo anual com isolamento \approx9{,}23\\ \mathrm{R\$}
(e) Economia anual \approx238{,}1\\ \mathrm{R\$}
(f) Payback \approx0{,}84\\ \mathrm{ano}

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