Determine m de modo que a função f(x)=(3 m-1) x^{2}-5 x+2 admita valor máximo.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que a função
f(x) = (3m-1)x^{2} - 5x + 2
admita valor máximo. Esse é um polinômio quadrático, e para que uma quadrática tenha máximo ela precisa ser côncava para baixo, isto é, o coeficiente de x^{2} deve ser negativo.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de x^{2} como
a = 3m - 1.
Para que a parábola seja côncava para baixo — e portanto tenha um valor máximo — é necessário que
a < 0.

Passo 3

Aplicando a condição 3m - 1 < 0, temos
3m < 1 \quad\Longrightarrow\quad m < \tfrac{1}{3}.

Passo 4

Verificações extras:
  • Se m = \tfrac{1}{3}, então a = 0 e a função deixa de ser quadrática, tornando-se linear, sem máximo finito.
  • Se m > \tfrac{1}{3}, então a>0 e a parábola é côncava para cima, tendo mínimo, não máximo.

Resposta

A função admite valor máximo se, e somente se,
m < \tfrac{1}{3}.

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