Determine m :
Sabendo que o vetor \vec{v}=(1,0, m) forma um ângulo de 60^{\circ} com o eixo z.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(1,0,m) e pede o valor de m tal que o ângulo entre \vec{v}$ e o eixo \(z seja 60^\circ. O conteúdo aqui é produto escalar e relação entre ângulo e cosseno.)

Passo 2

O eixo z é representado pelo versor \hat{e}_z=(0,0,1). A fórmula do cosseno do ângulo \theta entre \vec{v} e \hat{e}_z é
\cos\theta \;=\; \frac{\vec{v}\cdot \hat{e}_z}{\lvert \vec{v}\rvert\,\lvert \hat{e}_z\rvert}.

Passo 3

Calculamos
\vec{v}\cdot \hat{e}_z = m, \quad \lvert \hat{e}_z\rvert = 1, \quad \lvert \vec{v}\rvert = \sqrt{1 + m^2}.

Passo 4

Como \theta = 60^\circ e \cos 60^\circ = \tfrac12, igualamos
\frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \;=\; \frac12.

Passo 5

Elevando ao quadrado e resolvendo:
\frac{m^2}{1+m^2} = \frac14 \;\Longrightarrow\; 4m^2 = 1 + m^2 \;\Longrightarrow\; 3m^2 = 1 \;\Longrightarrow\; m^2 = \frac13 \;\Longrightarrow\; m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Para o ângulo ser 60^\circ (com cosseno positivo), precisamos de m>0.

Resposta

m = \frac{1}{\sqrt{3}}.

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