Determine m :
Para que os pontos A(1,1,-1), B(2,-1,1), C(m+1,-1, m) estejam na mesma reta.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m tal que os pontos A(1,1,-1), B(2,-1,1) e C(m+1,-1,m) sejam colineares. Vamos usar geometria analítica no espaço: três pontos são colineares se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos.

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = (2-1,\,-1-1,\,1-(-1)) = (1,\,-2,\,2)
\overrightarrow{AC} = ((m+1)-1,\,-1-1,\,m-(-1)) = (m,\,-2,\,m+1)

Passo 3

Para paralelismo existe escalar t tal que
\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB}
Isto gera o sistema
m = t\cdot 1,
-2 = t\cdot(-2),
m+1 = t\cdot 2.

Passo 4

Da segunda equação segue
-2 = -2t \implies t = 1.
Substituindo em m = t m = 1, e em m+1 = 2t temos 1+1 = 2\cdot1, consistente.

Resposta

m = 1

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