(0.5 pt) Dados os vetores \vec{v}_{1}=(0,-2,1), \vec{v}_{2}=(-1,0,-2) e \vec{v}_{3}=(1,-1,0), calcular:
(a) \left(2 \vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3}\right) \cdot \vec{v}_{2}.
(b) O ângulo entre \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
(c) Determine o vetor \vec{w}_{1}=\left(\frac{\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2}}{\left\|\vec{v}_{2}\right\|^{2}}\right) \vec{v}_{2}.
(d) Determine o vetor \overrightarrow{w_{2}}=\overrightarrow{v_{1}}-\left(\frac{\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}}{\left\|\overrightarrow{v_{2}}\right\|^{2}}\right) \overrightarrow{v_{2}}.
(e) Mostre que o vetor \vec{w}_{1}, encontrado no item (c), é paralelo a \vec{v}_{2} e o vetor \vec{w}_{2}, encontrado no item (d), é perpendicular a \vec{v}_{2}.

Passo 1

Temos em \mathbb R^3 os vetores \vec v_{1}=(0,-2,1), \vec v_{2}=(-1,0,-2) e \vec v_{3}=(1,-1,0).
Os itens envolvem produto escalar, norma e projeção de vetores. Usaremos:
\vec a\cdot\vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
\|\vec a\| = \sqrt{\vec a\cdot\vec a}.
– Projeção de \vec v_1 em \vec v_2:
\mathrm{proj}_{\vec v_2}\vec v_1 = \frac{\vec v_1\cdot\vec v_2}{\|\vec v_2\|^2}\,\vec v_2.

Passo 2

Queremos (2\vec v_1 - 4\vec v_3)\cdot\vec v_2. Primeiro calculamos
2\vec v_1 = (0,-4,2), \quad -4\vec v_3 = (-4,4,0),
então
2\vec v_1 - 4\vec v_3 = (0,-4,2) - (4,-4,0) = (-4,0,2).
Agora o produto escalar com \vec v_2=(-1,0,-2) é
(-4,0,2)\cdot(-1,0,-2) = (-4)(-1) + 0\cdot0 + 2\cdot(-2) = 4 - 4 = 0.

Passo 3

Para o ângulo \theta entre \vec v_1 e \vec v_2 usamos
\cos\theta = \frac{\vec v_1\cdot\vec v_2}{\|\vec v_1\|\;\|\vec v_2\|}.
Aqui
\vec v_1\cdot\vec v_2 = 0\cdot(-1) + (-2)\cdot0 + 1\cdot(-2) = -2,
e
\|\vec v_1\| = \sqrt{0^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{5}, \quad \|\vec v_2\| = \sqrt{(-1)^2+0^2+(-2)^2} = \sqrt{5}.
Logo
\cos\theta = \frac{-2}{\sqrt{5}\,\sqrt{5}} = -\tfrac{2}{5}, \theta = \operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr).

Passo 4

Pela fórmula de projeção, definimos
\vec w_1 = \frac{\vec v_1\cdot\vec v_2}{\|\vec v_2\|^2}\,\vec v_2 = \frac{-2}{5}\,(-1,0,-2) = \bigl(\tfrac{2}{5},\,0,\,\tfrac{4}{5}\bigr).

Passo 5

Definimos a componente ortogonal
\vec w_2 = \vec v_1 - \vec w_1 = (0,-2,1) - \bigl(\tfrac{2}{5},0,\tfrac{4}{5}\bigr) = \Bigl(-\tfrac{2}{5},\,-2,\,\tfrac{1}{5}\Bigr).

Passo 6

Para mostrar paralelismo e perpendicularidade:
\vec w_1 = \tfrac{-2}{5}\,\vec v_2, logo é múltiplo escalar de \vec v_2 (portanto paralelo).
\vec w_2\cdot\vec v_2 = \Bigl(-\tfrac{2}{5},-2,\tfrac{1}{5}\Bigr)\cdot(-1,0,-2) = \tfrac{2}{5} + 0 - \tfrac{2}{5} = 0,
logo \vec w_2\perp\vec v_2.

Resposta

(a) 0
(b) \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr)
(c) \vec w_{1} = \bigl(\tfrac{2}{5},\,0,\,\tfrac{4}{5}\bigr)
(d) \vec w_{2} = \bigl(-\tfrac{2}{5},\,-2,\,\tfrac{1}{5}\bigr)
(e) \vec w_{1}\parallel\vec v_{2} e \vec w_{2}\perp\vec v_{2}.

Exercícios relacionados