(0.5 pt) Dados os vetores \vec{v}_{1}=(0,-2,1), \vec{v}_{2}=(-1,0,-2) e \vec{v}_{3}=(1,-1,0), calcular:
(a) \left(2 \vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3}\right) \cdot \vec{v}_{2}.
(b) O ângulo entre \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
(c) Determine o vetor \vec{w}_{1}=\left(\frac{\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2}}{\left\|\vec{v}_{2}\right\|^{2}}\right) \vec{v}_{2}.
(d) Determine o vetor \overrightarrow{w_{2}}=\overrightarrow{v_{1}}-\left(\frac{\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}}{\left\|\overrightarrow{v_{2}}\right\|^{2}}\right) \overrightarrow{v_{2}}.
(e) Mostre que o vetor \vec{w}_{1}, encontrado no item (c), é paralelo a \vec{v}_{2} e o vetor \vec{w}_{2}, encontrado no item (d), é perpendicular a \vec{v}_{2}.
Passo 1
Temos em \mathbb R^3 os vetores \vec v_{1}=(0,-2,1), \vec v_{2}=(-1,0,-2) e \vec v_{3}=(1,-1,0).
Os itens envolvem produto escalar, norma e projeção de vetores. Usaremos:
– \vec a\cdot\vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
– \|\vec a\| = \sqrt{\vec a\cdot\vec a}.
– Projeção de \vec v_1 em \vec v_2: