Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
O vetor \vec{w}=5 \vec{i}-2 \vec{j}-3 \vec{k} é perpendicular ao vetor \vec{w}_{1}=2 \vec{u}-\vec{v}, em que \vec{u}=(3,4,-2) e \vec{v}=5 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \vec w = 5\vec i - 2\vec j - 3\vec k é perpendicular ao vetor \displaystyle \vec w_{1} = 2\vec u - \vec v, onde \vec u = (3,4,-2) e \vec v = 5\vec i - 2\vec j + \vec k.
O teste de perpendicularidade entre dois vetores no espaço é feito pelo produto escalar: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles for zero.

Passo 2

Vamos primeiro achar as componentes de \vec w_{1}.
Escrevendo \vec v em coordenadas, temos \vec v = (5,-2,1).
Logo,
\vec w_{1} = 2\vec u - \vec v = 2\,(3,4,-2) - (5,-2,1) = (6,8,-4) - (5,-2,1) = (1,\,10,\,-5).

Passo 3

Calculamos o produto escalar \vec w \cdot \vec w_{1}.
Com \vec w = (5,-2,-3) e \vec w_{1} = (1,10,-5),
\vec w \cdot \vec w_{1} = 5\cdot 1 + (-2)\cdot 10 + (-3)\cdot(-5) = 5 - 20 + 15 = 0.

Passo 4

Como o produto escalar saiu zero, concluímos que \vec w é ortogonal (perpendicular) a \vec w_{1}.

Resposta

Verdadeira.

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