Determine
para que se tenha para todo
:
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Passo 1
Beleza! O enunciado pede para encontrar o valor de $ m $ de forma que a expressão quadrática $ x^{2} - m x + m $ seja maior que zero para todo $ x $ real. Vamos usar conceitos de funções quadráticas, especialmente o estudo do sinal de uma parábola, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma função quadrática tem a forma $ f(x) = a x^{2} + b x + c $. No nosso caso, temos $ a = 1 $, $ b = -m $ e $ c = m $.
Passo 3
Para que a inequação $ x^{2} - m x + m > 0 $ seja verdadeira para todo $ x \in \mathbb{R} $, precisamos que a parábola correspondente não corte o eixo $ x $ e esteja sempre acima dele. Isso significa que a função quadrática não tem raízes reais e o coeficiente $ a $ é positivo.
Passo 4
A condição para que a função quadrática não tenha raízes reais é que o discriminante $ \Delta $ seja menor que zero. O discriminante é dado por:
Substituindo os valores:
Para que não haja raízes reais:
Passo 5
Agora, resolvemos a inequação $ m^{2} - 4m < 0 $. Podemos fatorar a expressão:
Isso significa que o produto de $ m $ e $ m - 4 $ é negativo. Para que isso aconteça, um dos fatores deve ser positivo e o outro negativo.
Passo 6
Analisando os intervalos:
- Se $ m < 0 $, então $ m - 4 < 0 $, e o produto é positivo.
- Se $ 0 < m < 4 $, então $ m > 0 $ e $ m - 4 < 0 $, então o produto é negativo.
- Se $ m > 4 $, então ambos os fatores são positivos, e o produto é positivo.
Portanto, a inequação $ m(m - 4) < 0 $ é verdadeira quando $ m $ está entre 0 e 4.
Resposta
O valor de $ m $ deve ser $ 0 < m < 4 $.