Determine:
a. a magnitude da componente projetada da força de 400 N ao longo do tubo AO.

Passo 1

O enunciado pede a componente da força \,F=400\text{ N} aplicada ao longo da haste AB na direção do tubo AO.
O ponto O é a origem do sistema de coordenadas, o ponto B está no piso em (5,0,0) (5 m sobre o eixo x) e a projeção vertical de A cai no piso em (0,4,0) (4 m sobre o eixo y), sendo A 6 m acima do piso.
Assim
B=(5,0,0),\quad A=(0,4,6),\quad O=(0,0,0).
Vamos usar produto escalar e versores para achar a projeção de F na direção de AO.

Passo 2

Determinar os vetores posição das hastes
\mathbf{r}_{AB}=A-B=(0-5,\;4-0,\;6-0)=(-5,\,4,\,6),
\mathbf{r}_{AO}=A-O=(0,\;4,\;6).
Seus comprimentos são
|\mathbf{r}_{AB}|=\sqrt{(-5)^2+4^2+6^2}=\sqrt{25+16+36}=\sqrt{77},
|\mathbf{r}_{AO}|=\sqrt{0^2+4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}.

Passo 3

Obter os versores
\hat{\mathbf{u}}_{AB}=\frac{\mathbf{r}_{AB}}{|\mathbf{r}_{AB}|} =\frac{1}{\sqrt{77}}\,(-5,\,4,\,6),
\hat{\mathbf{u}}_{AO}=\frac{\mathbf{r}_{AO}}{|\mathbf{r}_{AO}|} =\frac{1}{\sqrt{52}}\,(0,\,4,\,6).

Passo 4

O cosseno do ângulo entre as direções é
\cos\theta =\hat{\mathbf{u}}_{AB}\cdot \hat{\mathbf{u}}_{AO} =\frac{1}{\sqrt{77}\,\sqrt{52}}\bigl[\,(-5)\cdot0+4\cdot4+6\cdot6\bigr] =\frac{16+36}{\sqrt{4004}} =\frac{52}{\sqrt{4004}}\,.
Então a componente de F ao longo de AO vale
F_{AO}=F\,\cos\theta =400\cdot\frac{52}{\sqrt{4004}} \approx 328{,}7\text{ N}.

Resposta

A magnitude da componente projetada de 400\text{ N} ao longo do tubo AO é aproximadamente
\boxed{329\text{ N}.}

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