A partícula B está numa distância d à frente da partícula A. Ambas estão a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando a partícula B é desacelerada a 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. A partícula A demora 0,75 \mathrm{~s} para iniciar a desaceleração de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} a partir do instante que B desacelera. Determinar a distância d inicial entre as partículas.

Passo 1

O enunciado trata de duas partículas A e B que se movem inicialmente a 20\\ \mathrm{m/s}. No instante t=0 a partícula B começa a desacelerar a 4\\ \mathrm{m/s^2}, enquanto a partícula A continua a 20\\ \mathrm{m/s} até t=0,75\\ \mathrm{s}, quando então inicia sua desaceleração de 5\\ \mathrm{m/s^2}. Queremos determinar a separação inicial d mínima para que A não colida com B (isto é, o valor de d que faz com que, no instante de encontro, as posições coincidam).

Passo 2

Primeiro, escrevemos as funções posição de B e de A. Tomando x_A(0)=0 e x_B(0)=d:
Para B (todo t\ge0, desaceleração constante):
x_B(t)=d + 20\,t - \tfrac{1}{2}\,4\,t^2 = d + 20t - 2t^2.
Para A:
  • Enquanto 0\le t\le 0,75:
x_A(t)=20\,t.
  • Para t\ge0,75, A deslocou x_A(0,75)=20\cdot0,75=15\\ \mathrm{m} e então desacelera. Com \tau=t-0,75:
x_A(t)=15 + 20\,\tau - \tfrac{1}{2}\,5\,\tau^2 =15 +20(t-0,75) -2{,}5\,(t-0,75)^2.
Simplificando:
x_A(t)=20\,t \;-\;2{,}5\,(t-0{,}75)^2.

Passo 3

Para achar a condição de colisão em t\ge0,75, igualamos x_A(t)=x_B(t). Assim:
20t -2{,}5\,(t-0{,}75)^2 \;=\; d +20t -2t^2
os termos 20t cancelam, restando
d \;=\; 2t^2 \;-\;2{,}5\,(t-0{,}75)^2.
Expandindo (t-0{,}75)^2=t^2-1{,}5t+0{,}5625 e simplificando:
d(t) = -0,5\,t^2 +3,75\,t -1{,}40625.

Passo 4

Para que A apenas encoste em B sem colidir antes, d deve ser o valor máximo de d(t) no intervalo em que ambas desaceleram até a parada de A 0{,}75\le t\le4{,}75, pois A para quando 20-5\,(t-0,75)=0\Rightarrow t=4,75. Calculamos o máximo de
d(t) = -0,5\,t^2 +3,75\,t -1,40625.
Derivando: d'(t) = -t +3,75. Igualando a zero, t^* = 3,75\\ \mathrm{s}, que está no intervalo.

Passo 5

Substituindo t^*=3{,}75 em d(t):
d_{\max} = -0{,}5\,(3{,}75)^2 +3{,}75\,(3{,}75) -1{,}40625 = 5{,}625\\ \mathrm{m}.

Resposta

d = 5{,}625\,\mathrm{m}

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