Encontre o valor de para que a função seja contínua em :
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y)= xsinl(tfrac1yr), & (x,y)neq(0,0) A+2, & (x,y)=(0,0)
e queremos achar o valor de A para que f seja contínua em (0,0). Vamos precisar usar o conceito de limite e a definição de continuidade.
Passo 2
Para que f seja contínua em (0,0) precisamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)
Ou seja, o limite de x,sen(1/y) quando (x,y)→(0,0) deve ser igual a A+2.
Passo 3
Observando a parte para (x,y)≠(0,0), temos
|xsinl(tfrac1yr)| <= |x|,
pelo fato de |sen(1/y)|≤1. Como (x,y)→(0,0) implica x→0, segue que |x|→0 e portanto
lim(x,y)to(0,0)xsinl(tfrac1yr)=0
Passo 4
Igualando esse limite ao valor da função em (0,0), temos