Encontre o valor de A in R para que a função seja contínua em (0,0) :
f(x, y)=cx sen(1y), se (x, y) neq(0,0) A+2, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=
xsinl(tfrac1yr), & (x,y)neq(0,0) A+2, & (x,y)=(0,0)
e queremos achar o valor de A para que f seja contínua em (0,0). Vamos precisar usar o conceito de limite e a definição de continuidade.

Passo 2

Para que f seja contínua em (0,0) precisamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)
Ou seja, o limite de x,sen(1/y) quando (x,y)→(0,0) deve ser igual a A+2.

Passo 3

Observando a parte para (x,y)≠(0,0), temos
|xsinl(tfrac1yr)| <= |x|,
pelo fato de |sen(1/y)|≤1. Como (x,y)→(0,0) implica x→0, segue que |x|→0 e portanto
lim(x,y)to(0,0)xsinl(tfrac1yr)=0

Passo 4

Igualando esse limite ao valor da função em (0,0), temos
A+2=0
que leva a
A=-2

Resposta

A=-2

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