Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
a)
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Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede: determinar o maior conjunto no qual
é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
em termos de e . - Não há restrições explícitas no enunciado sobre
ou (por exemplo, raízes ou divisões por zero).
O que se pede, em palavras simples: encontrar o conjunto de todos os pontosonde é contínua (o “maior conjunto” significa o domínio onde a função é contínua).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa continuidade em duas variáveis de maneira simples e útil para a prova. Seja um ponto
. Dizemos que
é contínua em
se
Intuitivamente: ao aproximar
de
, os valores
se aproximam de
. O maior conjunto de continuidade é o conjunto de todos os pontos onde essa propriedade vale.
Passo 3
Identificar componentes básicas de
. A função
é uma combinação de termos simples:
Esses termos são obtidos a partir das funções coordenadas
e
, aplicando potências, multiplicações por constantes e multiplicações entre si, e somando. Então é natural analisar a continuidade das funções básicas:
- A projeção
e . - Potências como
e . - Produto e soma de funções.
Passo 4
Provar (de forma curta e prática) que as projeções são contínuas — isso é algo que dá para usar direto na prova. Para
, fixe
e considere
próximo de
. Temos a desigualdade
Logo, se escolhermos
, sempre que
obtemos
. Isso mostra que
é contínua em todo ponto. O mesmo raciocínio vale para
.
Passo 5
Mostrar que potências e constantes são contínuas e que soma/produto preservam continuidade (ferramenta essencial para a prova). Observações úteis para a prova:
- A função constante
é contínua em todo lugar (o limite é sempre ). - Se
é contínua, então (potência inteira positiva) é contínua, porque é composição de com a função unidimensional que é contínua. - Teorema prático (a usar sem prova longa em prova): soma, diferença e produto de funções contínuas são contínuas. Se quiser uma demonstração rápida para produto: se
e são contínuas em , então
onde
e
. Tornando
localmente limitado e usando continuidade de
e
a partir daí obtém-se a continuidade do produto. (Na prova de prova é suficiente citar esse resultado padrão.)
Passo 6
Aplicar essas ideias ao nosso
. Cada termo:
-
e são contínuos (Passo 4). -
e são contínuas como potências das projeções. - O produto
é produto de funções contínuas, logo contínuo; multiplicando por (constante) mantém continuidade, portanto é contínuo em todo lugar. - De modo análogo,
é contínuo em todo lugar. - A soma
é soma de funções contínuas, logo contínua em todo lugar.
Passo 7
Conclusão lógica: não há nenhum ponto que cause problema (como divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, log de argumento não positivo, etc.). A função está bem definida para todo
e, pelos argumentos acima, é contínua em cada ponto desse conjunto. Portanto o maior conjunto onde
é contínua é todo o plano.