Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
a) f(x, y)=4 x^{3} y-7 x y^{2}+6

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y)=4x^{3}y-7xy^{2}+6
e pede: determinar o maior conjunto no qual f é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f em termos de x e y.
  • Não há restrições explícitas no enunciado sobre x ou y (por exemplo, raízes ou divisões por zero).
    O que se pede, em palavras simples: encontrar o conjunto de todos os pontos (x,y) onde f é contínua (o “maior conjunto” significa o domínio onde a função é contínua).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa continuidade em duas variáveis de maneira simples e útil para a prova. Seja um ponto (x_0,y_0). Dizemos que f é contínua em (x_0,y_0) se
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0).
Intuitivamente: ao aproximar (x,y) de (x_0,y_0), os valores f(x,y) se aproximam de f(x_0,y_0). O maior conjunto de continuidade é o conjunto de todos os pontos onde essa propriedade vale.

Passo 3

Identificar componentes básicas de f. A função f é uma combinação de termos simples:
4x^{3}y,\qquad -7xy^{2},\qquad 6.
Esses termos são obtidos a partir das funções coordenadas (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y, aplicando potências, multiplicações por constantes e multiplicações entre si, e somando. Então é natural analisar a continuidade das funções básicas:
  • A projeção p_1(x,y)=x e p_2(x,y)=y.
  • Potências como x\mapsto x^{3} e y\mapsto y^{2}.
  • Produto e soma de funções.

Passo 4

Provar (de forma curta e prática) que as projeções são contínuas — isso é algo que dá para usar direto na prova. Para p_1(x,y)=x, fixe (x_0,y_0) e considere (x,y) próximo de (x_0,y_0). Temos a desigualdade
|p_1(x,y)-p_1(x_0,y_0)| = |x-x_0| \le \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|.
Logo, se escolhermos \delta=\varepsilon, sempre que \|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta obtemos |x-x_0|<\varepsilon. Isso mostra que p_1 é contínua em todo ponto. O mesmo raciocínio vale para p_2(x,y)=y.

Passo 5

Mostrar que potências e constantes são contínuas e que soma/produto preservam continuidade (ferramenta essencial para a prova). Observações úteis para a prova:
  • A função constante c(x,y)\equiv 6 é contínua em todo lugar (o limite é sempre 6).
  • Se g é contínua, então g^k (potência inteira positiva) é contínua, porque é composição de g com a função unidimensional t\mapsto t^k que é contínua.
  • Teorema prático (a usar sem prova longa em prova): soma, diferença e produto de funções contínuas são contínuas. Se quiser uma demonstração rápida para produto: se g e h são contínuas em (x_0,y_0), então
|g h - g_0 h_0| \le |g||h-h_0| + |h_0||g-g_0|
onde g_0=g(x_0,y_0) e h_0=h(x_0,y_0). Tornando |g| localmente limitado e usando continuidade de g e h a partir daí obtém-se a continuidade do produto. (Na prova de prova é suficiente citar esse resultado padrão.)

Passo 6

Aplicar essas ideias ao nosso f. Cada termo:
  • x \mapsto x e y \mapsto y são contínuos (Passo 4).
  • x\mapsto x^{3} e y\mapsto y^{2} são contínuas como potências das projeções.
  • O produto x^{3}\cdot y é produto de funções contínuas, logo contínuo; multiplicando por 4 (constante) mantém continuidade, portanto (x,y)\mapsto 4x^{3}y é contínuo em todo lugar.
  • De modo análogo, (x,y)\mapsto -7xy^{2} é contínuo em todo lugar.
  • A soma 4x^{3}y-7xy^{2}+6 é soma de funções contínuas, logo contínua em todo lugar.

Passo 7

Conclusão lógica: não há nenhum ponto que cause problema (como divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, log de argumento não positivo, etc.). A função está bem definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e, pelos argumentos acima, é contínua em cada ponto desse conjunto. Portanto o maior conjunto onde f é contínua é todo o plano.

Resposta

\mathbb{R}^{2}

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