Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
c)
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Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior conjunto (ou seja, o domínio de continuidade) no qual a função
é contínua.
Informações dadas e implicações imediatas:
Informações dadas e implicações imediatas:
- A função envolve um logaritmo natural
, então o argumento do deve ser estritamente positivo. - Há uma divisão por
, então esse denominador não pode ser zero. - Os pontos
estão em .
Passo 2
Analisando as condições de existência (domínio) da expressão interna antes de falar de continuidade:
- Para que
seja definido, precisamos de
- Para que a fração faça sentido, precisamos também de
Expliquei: a primeira condição vem de
exigir argumento positivo; a segunda vem da divisão por zero ser proibida.
Passo 3
Observe a natureza do denominador:
- Temos
para todo e a única maneira de ser é em . - Logo, para todo
temos .
Portanto, a condiçãopode ser reescrita, para , como a condição sobre o numerador:
Note que
não satisfaz
(pois
), então não precisamos controlar separadamente o caso da origem: se
então automaticamente
.
Passo 4
Conclusão sobre o domínio (conjunto onde
está definida):
Explicação direta e intuitiva: é o semiespaço aberto determinado pelo plano
— todos os pontos do lado onde
é positivo.
Passo 5
Agora a parte da continuidade: por que
é contínua em todo esse conjunto
?
- A função linear
é contínua em . - A função
é contínua em . - A razão
é, portanto, contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero (teorema: quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula). No nosso caso, em o denominador é , logo não nulo. - A função
é contínua para . - Compondo:
é contínua em todo ponto de , pois composições de funções contínuas são contínuas.
Passo 6
Observação sobre abertura do conjunto:
é um conjunto aberto (meio-espaço aberto), então faz sentido que
seja contínua em um conjunto aberto — isso costuma ser o que se pede ao determinar o “maior conjunto” de continuidade.