Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
c) f(x, y, z)=\ln \left(\frac{x-2 y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior conjunto (ou seja, o domínio de continuidade) no qual a função
f(x,y,z)=\ln\!\left(\frac{x-2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)
é contínua.
Informações dadas e implicações imediatas:
  • A função envolve um logaritmo natural \ln(\cdot), então o argumento do \ln deve ser estritamente positivo.
  • Há uma divisão por x^{2}+y^{2}+z^{2}, então esse denominador não pode ser zero.
  • Os pontos (x,y,z) estão em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Analisando as condições de existência (domínio) da expressão interna antes de falar de continuidade:
  • Para que \ln seja definido, precisamos de
\frac{x-2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}>0.
  • Para que a fração faça sentido, precisamos também de
x^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0.
Expliquei: a primeira condição vem de \ln exigir argumento positivo; a segunda vem da divisão por zero ser proibida.

Passo 3

Observe a natureza do denominador:
  • Temos \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 0 para todo (x,y,z) e a única maneira de ser 0 é em (0,0,0).
  • Logo, para todo (x,y,z)\neq(0,0,0) temos x^{2}+y^{2}+z^{2}>0.
    Portanto, a condição \frac{x-2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}>0 pode ser reescrita, para (x,y,z)\neq(0,0,0), como a condição sobre o numerador:
x-2y>0.
Note que (0,0,0) não satisfaz x-2y>0 (pois 0-2\cdot0=0), então não precisamos controlar separadamente o caso da origem: se x-2y>0 então automaticamente x^{2}+y^{2}+z^{2}>0.

Passo 4

Conclusão sobre o domínio (conjunto onde f está definida):
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y>0\}.
Explicação direta e intuitiva: é o semiespaço aberto determinado pelo plano x-2y=0 — todos os pontos do lado onde x-2y é positivo.

Passo 5

Agora a parte da continuidade: por que f é contínua em todo esse conjunto D?
  • A função linear (x,y,z)\mapsto x-2y é contínua em \mathbb{R}^{3}.
  • A função (x,y,z)\mapsto x^{2}+y^{2}+z^{2} é contínua em \mathbb{R}^{3}.
  • A razão (x,y,z)\mapsto \dfrac{x-2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é, portanto, contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero (teorema: quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula). No nosso caso, em D o denominador é >0, logo não nulo.
  • A função \ln(t) é contínua para t>0.
  • Compondo: f = \ln\circ\big(\dfrac{x-2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\big) é contínua em todo ponto de D, pois composições de funções contínuas são contínuas.

Passo 6

Observação sobre abertura do conjunto: D=\{(x,y,z)\mid x-2y>0\} é um conjunto aberto (meio-espaço aberto), então faz sentido que f seja contínua em um conjunto aberto — isso costuma ser o que se pede ao determinar o “maior conjunto” de continuidade.

Resposta

\displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y>0\}

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