Obtenha o valor da constante real k tal que a função
seja contínua no ponto (1,-1).
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}} \text {, se } y \neq-x \\\ \frac{k^{2}}{3} \text {, se } y=-x \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}}, & \text{se } y\neq -x,\\[6pt] \displaystyle \frac{k^{2}}{3}, & \text{se } y=-x, \end{cases}
e pede: encontrar o valor real de k para que f seja contínua no ponto (1,-1).
Informações relevantes do enunciado:
(1,-1)\quad\text{verifica}\quad -1 = -1,\\ \text{ou seja }(1,-1)\text{ está na reta }y=-x.á
Portanto, para f ser contínua em (1,-1) precisamos que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(1,-1) tomando pontos com y\neq -x seja igual ao valor definido na reta y=-x, que é \dfrac{k^{2}}{3}.]

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (passo didático): uma função f é contínua em (1,-1) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} f(x,y) = f(1,-1).
Aqui f(1,-1) é o valor dado pela definição na reta y=-x, portanto
f(1,-1)=\frac{k^{2}}{3}.
Assim precisamos calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-1),\,y\neq -x}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}} e igualá-lo a \dfrac{k^{2}}{3}.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão que aparece no numerador e no denominador usando fórmulas conhecidas (aqui uma pequena aula prática):
  • A diferença de quadrados: para quaisquer x,y,
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
  • A soma de cubos: para quaisquer x,y,
x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}).
Aplicando isso à fração (valida quando x+y\neq 0, isto é, quando y\neq -x), obtemos a simplificação
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}}=\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}=\frac{x-y}{x^{2}-xy+y^{2}}.
Observe que a cancelamento de (x+y) é legítimo pois estamos tomando pontos com y\neq -x.

Passo 4

Agora usamos que a função simplificada
g(x,y):=\frac{x-y}{x^{2}-xy+y^{2}}
é uma função racional que é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. Vamos verificar o denominador no ponto (1,-1):
x^{2}-xy+y^{2}\Big|_{(1,-1)} = 1^{2}-1\cdot(-1)+(-1)^{2}=1+1+1=3\neq 0.
Como o denominador não zera em (1,-1), podemos simplesmente substituir x=1 e y=-1 em g para obter o limite. Calculando:
numerador:
x-y\Big|_{(1,-1)} = 1-(-1)=2,
denominador:
x^{2}-xy+y^{2}\Big|_{(1,-1)} = 3.
Logo o limite é
\lim_{(x,y)\to(1,-1),\,y\neq -x}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Para que f seja contínua em (1,-1) precisamos que o valor definido pela parte y=-x coincida com esse limite. Isto é,
\frac{k^{2}}{3}=\frac{2}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 3 obtemos
k^{2}=2.
Como k é real, as soluções são
k=\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad k=-\sqrt{2}.

Resposta

k=\sqrt{2}
k=-\sqrt{2}

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