e pede: encontrar o valor real de k para que f seja contínua no ponto (1,-1).
Informações relevantes do enunciado:
(1,-1)\quad\text{verifica}\quad -1 = -1,\\ \text{ou seja }(1,-1)\text{ está na reta }y=-x.á
Portanto, para f ser contínua em (1,-1) precisamos que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(1,-1) tomando pontos com y\neq -x seja igual ao valor definido na reta y=-x, que é \dfrac{k^{2}}{3}.]
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (passo didático): uma função f é contínua em (1,-1) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} f(x,y) = f(1,-1).
Aqui f(1,-1) é o valor dado pela definição na reta y=-x, portanto
f(1,-1)=\frac{k^{2}}{3}.
Assim precisamos calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-1),\,y\neq -x}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}} e igualá-lo a \dfrac{k^{2}}{3}.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão que aparece no numerador e no denominador usando fórmulas conhecidas (aqui uma pequena aula prática):
A diferença de quadrados: para quaisquer x,y,
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
A soma de cubos: para quaisquer x,y,
x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}).
Aplicando isso à fração (valida quando x+y\neq 0, isto é, quando y\neq -x), obtemos a simplificação