Utilizando o Teorema do Confronto, mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0,

Passo 1

O enunciado pede mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Informações dadas: a função é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e o ponto de interesse é (0,0). O objetivo é provar que, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, os valores de f(x,y) tendem a 0.

Passo 2

Vou usar a ideia do Teorema do Confronto (squeeze): se tivermos duas funções g(x,y) e h(x,y) tais que, numa vizinhança de (0,0),
g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)
e se g(x,y)\to 0 e h(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0), então f(x,y)\to 0 também. Na prática é comum trabalhar com o valor absoluto e obter uma desigualdade do tipo
|f(x,y)|\le \varphi(x,y),
onde \varphi(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Então f(x,y)\to 0.

Passo 3

Para simplificar as expressões, defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observações sobre r: r\ge 0 para todo (x,y) e (x,y)\to(0,0) se e só se r\to 0.
Agora obtenho duas desigualdades simples e úteis:
primeiro,
x^{2}\le x^{2}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad |x|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
pois elevar ao quadrado é monotônico para não-negativos;
segundo,
y^{2}\le x^{2}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}\le r^{2}.

Passo 4

Use essas desigualdades para estimar o valor absoluto de f. Temos
\left|\frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| = \frac{|x|\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Substituindo as desigualdades |x|\le r e y^{2}\le r^{2}, obtemos
\frac{|x|\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\le \frac{r\cdot r^{2}}{r}=r^{2}.
Portanto, para todo (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|\le r^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 5

Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), temos r^{2}\to 0. Pela desigualdade do passo anterior e pelo Teorema do Confronto, o módulo de f(x,y) é limitado por algo que tende a zero, logo f(x,y) tende a zero. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Resposta

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