Informações dadas: a função é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e o ponto de interesse é (0,0). O objetivo é provar que, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, os valores de f(x,y) tendem a 0.
Passo 2
Vou usar a ideia do Teorema do Confronto (squeeze): se tivermos duas funções g(x,y) e h(x,y) tais que, numa vizinhança de (0,0),
g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)
e se g(x,y)\to 0 e h(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0), então f(x,y)\to 0 também. Na prática é comum trabalhar com o valor absoluto e obter uma desigualdade do tipo
|f(x,y)|\le \varphi(x,y),
onde \varphi(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Então f(x,y)\to 0.
Passo 3
Para simplificar as expressões, defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Observações sobre r: r\ge 0 para todo (x,y) e (x,y)\to(0,0) se e só se r\to 0.
Agora obtenho duas desigualdades simples e úteis:
primeiro,
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), temos r^{2}\to 0. Pela desigualdade do passo anterior e pelo Teorema do Confronto, o módulo de f(x,y) é limitado por algo que tende a zero, logo f(x,y) tende a zero. Assim