Determine o maior conjunto no qual a função é contínua
Passo 1
O exercício pede para encontrarmos o maior conjunto em que a função f definida por f(x,y,z)=arctg(x+√y) é contínua. O conteúdo envolvido é domínio e continuidade de funções compostas, então vamos precisar saber onde √y está bem definida e onde arctg é contínua.
Passo 2
Para a raiz quadrada √y estar bem definida com valores reais, precisamos ter y≥0. Ou seja, o domínio inicial imposto por √y é o conjunto {(x,y,z)∈ℝ³∣y≥0}.
Passo 3
A função arctg (u) é contínua para todo u∈ℝ, sem restrições no argumento. Portanto, não há restrições adicionais além daquelas do √y.
Passo 4
Como soma e composição de funções contínuas resultam em função contínua no domínio comum, concluímos que f é contínua para todo (x,y,z) com y≥0.
Resposta
O maior conjunto de continuidade é {(x,y,z)∈ℝ³∣y≥0}.