Encontre o raio da base e a altura de um cilindro circular reto inscrito numa esfera de raio 4 cm, sabendo que a área lateral do cilindro é máxima.

Passo 1

A questão pede para encontrar o raio da base e a altura de um cilindro circular reto inscrito numa esfera de raio 4 cm, de modo que sua área lateral seja máxima. O conteúdo envolve otimização de funções usando derivadas e a relação geométrica de um cilindro inscrito numa esfera.

Passo 2

Para relacionar as dimensões do cilindro à esfera, considere o corte longitudinal que passa pelo eixo do cilindro. Nesse triângulo retângulo vale o teorema de Pitágoras:
r^2 + l(tfrach2r)^2 = 4^2 = 16

Passo 3

Da equação acima isolamos a altura em função do raio da base:
h = 2raiz16 - r^2

Passo 4

A área lateral do cilindro é dada por A = 2pi r h. Substituindo h(r) temos:
A(r) = 2pi r cdot 2raiz16 - r^2 = 4pi r raiz16 - r^2

Passo 5

Para maximizar A(r) derivamos em relação a r e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia:
A'(r) = 4pi l(raiz16 - r^2 + r cdot -rraiz16 - r^2r) = 4pi16 - 2r^2raiz16 - r^2

Passo 6

Igualando A'(r)=0 obtém-se
16 - 2r^2 = 0 Longrightarrow r^2 = 8 Longrightarrow r = 2raiz2,(cm)

Passo 7

Por fim, calcula-se a altura correspondente:
h = 2raiz16 - (2raiz2)^2 = 2raiz16 - 8 = 2raiz8 = 4raiz2,(cm)

Resposta

O cilindro de área lateral máxima inscrito na esfera de raio 4 cm tem raio da base igual a 2raiz2 cm e altura igual a 4raiz2 cm.

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