Encontre o raio da base e a altura de um cilindro circular reto inscrito numa esfera de raio
, sabendo que a área lateral do cilindro é máxima.
Passo 1
A questão pede para encontrar o raio da base e a altura de um cilindro circular reto inscrito numa esfera de raio 4 cm, de modo que sua área lateral seja máxima. O conteúdo envolve otimização de funções usando derivadas e a relação geométrica de um cilindro inscrito numa esfera.
Passo 2
Para relacionar as dimensões do cilindro à esfera, considere o corte longitudinal que passa pelo eixo do cilindro. Nesse triângulo retângulo vale o teorema de Pitágoras:
Passo 3
Da equação acima isolamos a altura em função do raio da base:
Passo 4
A área lateral do cilindro é dada por
. Substituindo
temos:
Passo 5
Para maximizar
derivamos em relação a
e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia:
Passo 6
Igualando
obtém-se
Passo 7
Por fim, calcula-se a altura correspondente:
Resposta
O cilindro de área lateral máxima inscrito na esfera de raio 4 cm tem raio da base igual a
cm e altura igual a
cm.