integral-infty^infty 1-cos (2 t)2 t^2 d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-infty^infty 1-cos (2 t)2 t^2 d t. Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria que envolve funções trigonométricas e frações. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre integrais envolvendo funções cosseno e propriedades de integração no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
1 - cos(2t)2 = sin^2(t)
Isso é uma identidade trigonométrica que facilita a nossa integração.

Passo 3

Agora, substituímos essa identidade na integral original:
integral-infty^infty 1 - cos(2t)2 t^2 dt = integral-infty^infty sin^2(t)t^2 dt

Passo 4

Sabemos que a integral de sin^2(t)t^2 de -infty a infty é uma integral conhecida. De fato, existe uma fórmula que diz:
integral-infty^infty sin^2(t)t^2 dt = pi

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa integral, temos que:
integral-infty^infty sin^2(t)t^2 dt = pi

Resposta

O valor da integral é pi.

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