Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
g(x, y)=\ln \left(\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o maior conjunto em que
g(x,y)=\ln\!\biggl(\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}\biggr)
é contínua. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis, que exige que a função esteja bem definida (domínio) e que seja composição de funções contínuas nesse domínio.

Passo 2

Para que g(x,y) exista, é preciso que o argumento do \ln seja estritamente positivo e que o denominador não seja zero. Logo devemos ter
x^{2}+y^{2}\neq0 \quad\text{e}\quad \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}>0.

Passo 3

Observamos que x^{2}+y^{2}>0 para todo (x,y)\neq(0,0). Portanto a desigualdade
\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}>0
não equivale simplesmente a
x-y>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>y.
Note que (0,0) já não satisfaz x>y, então não precisamos excluí-lo separadamente.

Passo 4

Como \ln, a subtração, a soma de quadrados e a divisão (por quantidade positiva) são funções contínuas, g será contínua em todo o seu domínio obtido acima.

Resposta

O maior conjunto em que g é contínua é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>y\}.

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