Determine o limite,se existir, ou mostre que o limite não existe em:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}.
Como é um limite em duas variáveis, vamos investigar se ele depende do caminho pelo qual (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Escolhemos as retas do tipo y=m x, com m constante, e substituímos na função:
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}} \quad\longrightarrow\quad f\bigl(x,m x\bigr) =\frac{x\,(m x)}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{m\,x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{m}{1+m^{2}}.

Passo 3

O valor \frac{m}{1+m^{2}} não depende de x, mas depende de m. Por exemplo:
– Se m=1, o limite é \tfrac{1}{2}.
– Se m=0, o limite é 0.
– Se m=-1, o limite é -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como o limite ao longo de diferentes retas y=mx assume valores diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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