Determine o limite,se existir, ou mostre que o limite não existe em:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x y}{y-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y}{y - x^{3}}.
O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos usar a ideia de aproximar por trajetórias (ou “caminhos”) diferentes para ver se o valor depende delas.

Passo 2

Escolhemos a trajetória
y = x^{3} + k\,x^{4},
onde k é um parâmetro real. Note que, quando x\to0, temos y\to0, então está tudo bem para aproximar (x,y)\to(0,0). Substituindo na expressão:
\frac{x\,y}{y - x^{3}} = \frac{x\bigl(x^{3} + k\,x^{4}\bigr)}{\bigl(x^{3} + k\,x^{4}\bigr) - x^{3}} = \frac{x^{4}\,(1 + k\,x)}{k\,x^{4}} = \frac{1 + k\,x}{k}.
Como x\to0, esse quociente tende a
\frac{1 + k\cdot0}{k} = \frac{1}{k}.

Passo 3

Vemos que o valor limite ao longo dessa trajetória é \tfrac1k, e isso varia com k. Por exemplo, se k=1 1, mas se k=2 \tfrac12. Como obtivemos valores diferentes escolhendo k distintos, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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