Determine o limite,se existir, ou mostre que o limite não existe em:
Passo 1
O enunciado pede o limite
O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos usar a ideia de aproximar por trajetórias (ou “caminhos”) diferentes para ver se o valor depende delas.
Passo 2
Escolhemos a trajetória
onde
é um parâmetro real. Note que, quando
, temos
, então está tudo bem para aproximar
. Substituindo na expressão:
Como
, esse quociente tende a
Passo 3
Vemos que o valor limite ao longo dessa trajetória é
, e isso varia com
. Por exemplo, se
dá
, mas se
dá
. Como obtivemos valores diferentes escolhendo
distintos, o limite não pode ser único.
Resposta
O limite não existe.