Questão 3
Seja
uma função dada por
.
(a) Determine todos os pontos críticos de
.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
em cada ponto crítico de
.
(a) Determine todos os pontos críticos de
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
São pedidas duas coisas:
(a) determinar todos os pontos críticos de , ou seja, os pontos
onde as derivadas parciais existem e simultaneamente são zero (ou onde não existem, mas aqui elas existem em todo lugar);
(b) para cada ponto crítico encontrado, determinar a equação do plano tangente ao gráfico de naquele ponto.
(a) determinar todos os pontos críticos de
(b) para cada ponto crítico encontrado, determinar a equação do plano tangente ao gráfico de
Informações relevantes dadas no enunciado:
Não há outras condições ou restrições; a função é suave em toda
porque é composta por polinômios e exponencial.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Antes disso, uma pequena explicação da regra que vamos usar: se temos uma função do tipo
, onde
é constante e
é uma função diferenciável, então a regra da cadeia diz que
Aqui
. Vamos calcular
e
passo a passo.
Calcule
:
porque a derivada de
em relação a
é
, a de
em relação a
é
(tratando
como constante) e a de
é
.
Calcule
:
porque
e
são constantes em
e a derivada de
em relação a
é
.
Agora aplique a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
:
Passo 3
Pontos críticos são soluções do sistema
Substituindo as expressões obtidas:
Observação importante (explicação didática):
para todo
, e
. Assim o fator
nunca é zero. Portanto para que cada igualdade seja verdadeira, os fatores multiplicativos restantes devem ser zero. Ou seja, o sistema reduz-se a
Resolva o sistema: da segunda equação vem
Substituindo
na primeira:
Logo existe exatamente um ponto crítico:
Passo 4
Agora vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de
em cada ponto crítico. Primeiro explico a fórmula do plano tangente: para
, o plano tangente em
, com
, é dado por
Aqui
e
são as derivadas parciais avaliadas no ponto; elas dão as inclinações do plano nas direções
e
.
No nosso caso o único ponto crítico é
. Já sabemos que nesse ponto as derivadas parciais são zero porque eram as equações do sistema. Para ficar explícito, avalie:
Calcule
:
Substituindo na fórmula do plano tangente:
ou seja
Interpretação rápida: o plano é horizontal (paralelo ao plano
) passando pela altura
, porque o gradiente em um ponto crítico é o vetor nulo e não há inclinação.
Resposta
(a)
(b)
(b)