Questão 3

Seja h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função dada por h(x, y)=3 \mathrm{e}^{x^{2}+5 x y+x}.
(a) Determine todos os pontos críticos de h.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de h em cada ponto crítico de h.

Passo 1

O enunciado dá a função h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
h(x,y)=3\mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x}.
São pedidas duas coisas:
(a) determinar todos os pontos críticos de h, ou seja, os pontos (x,y) onde as derivadas parciais existem e simultaneamente são zero (ou onde não existem, mas aqui elas existem em todo lugar);
(b) para cada ponto crítico encontrado, determinar a equação do plano tangente ao gráfico de h naquele ponto.
Informações relevantes dadas no enunciado:
h(x,y)=3\mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x}.
Não há outras condições ou restrições; a função é suave em toda \mathbb{R}^2 porque é composta por polinômios e exponencial.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de h. Antes disso, uma pequena explicação da regra que vamos usar: se temos uma função do tipo h(x,y)=C\mathrm{e}^{u(x,y)}, onde C é constante e u(x,y) é uma função diferenciável, então a regra da cadeia diz que
\frac{\partial h}{\partial x}=C\mathrm{e}^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial h}{\partial y}=C\mathrm{e}^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui u(x,y)=x^{2}+5xy+x. Vamos calcular \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial u}{\partial y} passo a passo.
Calcule \frac{\partial u}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+5xy+x\big)=2x+5y+1,
porque a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, a de 5xy em relação a x é 5y (tratando y como constante) e a de x é 1.
Calcule \frac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+5xy+x\big)=5x,
porque x^{2} e x são constantes em y e a derivada de 5xy em relação a y é 5x.
Agora aplique a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de h:
\frac{\partial h}{\partial x}=3\mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x}\big(2x+5y+1\big),
\frac{\partial h}{\partial y}=3\mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x}\big(5x\big).

Passo 3

Pontos críticos são soluções do sistema
\frac{\partial h}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial h}{\partial y}=0.
Substituindo as expressões obtidas:
3\mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x}\big(2x+5y+1\big)=0,
3\mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x}\big(5x\big)=0.
Observação importante (explicação didática): \mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x}>0 para todo (x,y), e 3>0. Assim o fator 3\mathrm{e}^{x^{2}+5xy+x} nunca é zero. Portanto para que cada igualdade seja verdadeira, os fatores multiplicativos restantes devem ser zero. Ou seja, o sistema reduz-se a
2x+5y+1=0,
5x=0.
Resolva o sistema: da segunda equação vem
5x=0 \implies x=0.
Substituindo x=0 na primeira:
2\cdot 0 +5y+1=0 \implies 5y+1=0 \implies y=-\tfrac{1}{5}.
Logo existe exatamente um ponto crítico:
(x,y)=\big(0,-\tfrac{1}{5}\big).

Passo 4

Agora vamos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de h em cada ponto crítico. Primeiro explico a fórmula do plano tangente: para z=h(x,y), o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}), com z_{0}=h(x_{0},y_{0}), é dado por
z=z_{0}+\frac{\partial h}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial h}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui \frac{\partial h}{\partial x}(x_{0},y_{0}) e \frac{\partial h}{\partial y}(x_{0},y_{0}) são as derivadas parciais avaliadas no ponto; elas dão as inclinações do plano nas direções x e y.
No nosso caso o único ponto crítico é (x_{0},y_{0})=\big(0,-\tfrac{1}{5}\big). Já sabemos que nesse ponto as derivadas parciais são zero porque eram as equações do sistema. Para ficar explícito, avalie:
\frac{\partial h}{\partial x}\big(0,-\tfrac{1}{5}\big)=3\mathrm{e}^{0}\big(2\cdot 0+5\cdot(-\tfrac{1}{5})+1\big)=3\cdot 1\cdot(0-1+1)=0,
\frac{\partial h}{\partial y}\big(0,-\tfrac{1}{5}\big)=3\mathrm{e}^{0}\big(5\cdot 0\big)=0.
Calcule z_{0}=h\big(0,-\tfrac{1}{5}\big):
z_{0}=3\mathrm{e}^{0^{2}+5\cdot 0\cdot(-\tfrac{1}{5})+0}=3\mathrm{e}^{0}=3.
Substituindo na fórmula do plano tangente:
z=3+0\cdot(x-0)+0\cdot\big(y+ \tfrac{1}{5}\big),
ou seja
z=3.
Interpretação rápida: o plano é horizontal (paralelo ao plano xy) passando pela altura z=3, porque o gradiente em um ponto crítico é o vetor nulo e não há inclinação.

Resposta

(a) \big(0,-\tfrac{1}{5}\big)
(b) z=3

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