(a) Determine o maior domínio de definição da função f(x, y). Esboce-o.
(b) Para cada k in R, descreve of conjunto de nível f^-1(k).
Na mesma diagrama que em parte (a), esboce os conjuntos de nível f^-1(k) para k=-1,0,1,2.
f(x, y)=raizx^2+y^22 y-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f(x, y) = \sqrt{\frac{x{2}+y{2}}{2 y}-1} $ e precisamos descobrir de onde essa função está bem definida, ou seja, o maior domínio possível. Além disso, vamos esboçar esse domínio. O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis, especialmente análise de domínios e gráficos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz quadrada é não-negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: $ \frac{x{2}+y{2}}{2 y} - 1 $. Para que a função $ f(x, y) $ seja real, essa expressão precisa ser maior ou igual a zero:
x^2+y^22 y - 1

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade:
x^2+y^22 y - 1 >= 0 implies x^2+y^22 y >= 1
Multiplicando ambos os lados por $ 2y $ (lembre-se de que multiplicar por $ y $ muda a direção da desigualdade se $ y $ for negativo):
2y

Passo 4

Rearranjando a desigualdade:
x^2 + y^2 - 2 y >= 0
Podemos completar o quadrado para o termo em $ y $:
y
Então:
x^2 + (y^2 - 2 y + 1) - 1 >= 0 implies x^2 + (y - 1)^2 - 1 >= 0

Passo 5

Essa desigualdade representa todos os pontos $ (x, y) $ que estão fora ou na circunferência de raio 1 centrada em $ (0, 1) $. Além disso, precisamos considerar as restrições originárias da divisão por $ 2y $. Originalmente, a expressão $ \frac{x{2}+y{2}}{2 y} $ requer que $ y \neq 0 $, e como dividimos por $ y $, devemos considerar $ y > 0 $ para manter a desigualdade inalterada.

Passo 6

Portanto, combinando tudo, o domínio de definição da função $ f(x, y) $ é:
f(x, y)

Passo 7

Agora, passando para a parte (b), precisamos descrever o conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ para cada $ k \in \mathbb{R} $ e esboçar esses conjuntos para $ k = -1, 0, 1, 2 $.

Passo 8

Um conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ é o conjunto de pontos $ (x, y) $ tais que $ f(x, y) = k $. Vamos igualar a função a $ k $:
f^-1(k)
Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x, y)
Rearranjando:
f(x, y) = k

Passo 9

Essa equação representa uma circunferência com centro em $ (0, y_{c}) $ e raio $ r $, onde:
(0, yc)
Na verdade, essa equação representa uma circunferência com centro em $ (0, 1 + k^{2}) $ e raio $ \sqrt{(1 + k{2}){2} - (1 + k^{2})} $, simplificando:
r
Isso indica que, na verdade, para cada $ k $, o conjunto de nível é uma circunferência com raio definido.

Passo 10

Vamos corrigir. A equação $ x^{2} + y^{2} = 2 y (1 + k^{2}) $ pode ser reescrita completando o quadrado para $ y $:
x^2 + y^2 = 2 y (1 + k^2)
Então, cada conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ é uma circunferência com centro em $ (0, 1 + k^{2}) $ e raio $ 1 + k^{2} $.

Passo 11

Agora, vamos esboçar essas circunferências para $ k = -1, 0, 1, 2 $ no mesmo diagrama do domínio:
  • Para $ k = -1 $: $ y_{c} = 1 + (-1)^2 = 2 $, $ r = 2 $
  • Para $ k = 0 $: $ y_{c} = 1 + 0^2 = 1 $, $ r = 1 $
  • Para $ k = 1 $: $ y_{c} = 1 + 1^2 = 2 $, $ r = 2 $
  • Para $ k = 2 $: $ y_{c} = 1 + 2^2 = 5 $, $ r = 5 $

Resposta

Para cada valor de $ k $, o conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ é uma circunferência com centro em $ (0, 1 + k^{2}) $ e raio $ 1 + k^{2} $. No diagrama do domínio, essas circunferências para $ k = -1, 0, 1, 2 $ serão círculos centrados em $ (0, 2) $, $ (0, 1) $, $ (0, 2) $ e $ (0, 5) $ com respectivos raios de $ 2 $, $ 1 $, $ 2 $ e $ 5 $.

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