(a) Determine o maior domínio de definição da função
. Esboce-o.
(b) Para cada
, descreve of conjunto de nível
.
Na mesma diagrama que em parte (a), esboce os conjuntos de nível
para
.
(b) Para cada
Na mesma diagrama que em parte (a), esboce os conjuntos de nível
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f(x, y) = \sqrt{\frac{x{2}+y{2}}{2 y}-1} $ e precisamos descobrir de onde essa função está bem definida, ou seja, o maior domínio possível. Além disso, vamos esboçar esse domínio. O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis, especialmente análise de domínios e gráficos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz quadrada é não-negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: $ \frac{x{2}+y{2}}{2 y} - 1 $. Para que a função $ f(x, y) $ seja real, essa expressão precisa ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por $ 2y $ (lembre-se de que multiplicar por $ y $ muda a direção da desigualdade se $ y $ for negativo):
Passo 4
Rearranjando a desigualdade:
Podemos completar o quadrado para o termo em $ y $:
Então:
Passo 5
Essa desigualdade representa todos os pontos $ (x, y) $ que estão fora ou na circunferência de raio 1 centrada em $ (0, 1) $. Além disso, precisamos considerar as restrições originárias da divisão por $ 2y $. Originalmente, a expressão $ \frac{x{2}+y{2}}{2 y} $ requer que $ y \neq 0 $, e como dividimos por $ y $, devemos considerar $ y > 0 $ para manter a desigualdade inalterada.
Passo 6
Portanto, combinando tudo, o domínio de definição da função $ f(x, y) $ é:
Passo 7
Agora, passando para a parte (b), precisamos descrever o conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ para cada $ k \in \mathbb{R} $ e esboçar esses conjuntos para $ k = -1, 0, 1, 2 $.
Passo 8
Um conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ é o conjunto de pontos $ (x, y) $ tais que $ f(x, y) = k $. Vamos igualar a função a $ k $:
Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Passo 9
Essa equação representa uma circunferência com centro em $ (0, y_{c}) $ e raio $ r $, onde:
Na verdade, essa equação representa uma circunferência com centro em $ (0, 1 + k^{2}) $ e raio $ \sqrt{(1 + k{2}){2} - (1 + k^{2})} $, simplificando:
Isso indica que, na verdade, para cada $ k $, o conjunto de nível é uma circunferência com raio definido.
Passo 10
Vamos corrigir. A equação $ x^{2} + y^{2} = 2 y (1 + k^{2}) $ pode ser reescrita completando o quadrado para $ y $:
Então, cada conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ é uma circunferência com centro em $ (0, 1 + k^{2}) $ e raio $ 1 + k^{2} $.
Passo 11
Agora, vamos esboçar essas circunferências para $ k = -1, 0, 1, 2 $ no mesmo diagrama do domínio:
- Para $ k = -1 $: $ y_{c} = 1 + (-1)^2 = 2 $, $ r = 2 $
- Para $ k = 0 $: $ y_{c} = 1 + 0^2 = 1 $, $ r = 1 $
- Para $ k = 1 $: $ y_{c} = 1 + 1^2 = 2 $, $ r = 2 $
- Para $ k = 2 $: $ y_{c} = 1 + 2^2 = 5 $, $ r = 5 $
Resposta
Para cada valor de $ k $, o conjunto de nível $ f^{-1}(k) $ é uma circunferência com centro em $ (0, 1 + k^{2}) $ e raio $ 1 + k^{2} $. No diagrama do domínio, essas circunferências para $ k = -1, 0, 1, 2 $ serão círculos centrados em $ (0, 2) $, $ (0, 1) $, $ (0, 2) $ e $ (0, 5) $ com respectivos raios de $ 2 $, $ 1 $, $ 2 $ e $ 5 $.