Questão 1 (1.5) Seja
(b) Verifique se
é possui derivadas parciais no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função $ f(x, y) $ definida de duas maneiras: uma para $ (x, y) \neq (2,0) $ e outra para $ (x, y) = (2,0) $. O que precisamos fazer aqui é verificar se essa função tem derivadas parciais no ponto $ (2,0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Basicamente, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (2,0) $ mede como $ f $ muda quando a gente varia $ x $ mantendo $ y $ fixo, e a derivada parcial em relação a $ y $ faz o mesmo para $ y $. Para existir uma derivada parcial nesse ponto, precisamos que certos limites existam.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (2,0) $. A fórmula para isso é:
Sabemos que $ f(2,0) = 0 $. Agora, vamos encontrar $ f(2+h, 0) $:
Então, substituindo na fórmula:
Portanto, a derivada parcial em relação a $ x $ existe e vale 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto $ (2,0) $. A fórmula é:
Sabemos que $ f(2,0) = 0 $. Vamos encontrar $ f(2, k) $:
Então, substituindo na fórmula:
Portanto, a derivada parcial em relação a $ y $ também existe e vale 0.
Resposta
A função $ f $ possui derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ no ponto $ (2,0) $, ambas iguais a 0.