Questão 3 (2.0) Seja
), onde
é uma função de classe
,
b) Conhecendo os valores abaixo, determine a equaçào do plano tangente o gráfico de
no ponto
.
b) Conhecendo os valores abaixo, determine a equaçào do plano tangente o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ h(x, y) = f(3x - xy^3, f(y + 1, x^2)) $, onde $ f $ é uma função diferenciável ($ C^1 $). Queremos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $ (2, 1, 3) $. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes internas da função $ h $. Vamos definir:
Então, $ h(x, y) = f(u, v) $.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ h $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto dado. Usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
Passo 5
No ponto $ (2, 1, 3) $, calculamos $ u $ e $ v $:
Assim, precisamos das derivadas de $ f $ em $ (4, -1) $ e $ (2, 4) $, que já nos foram dadas.
Passo 6
Usando os valores fornecidos:
Passo 7
Calculamos as derivadas parciais de $ h $ em $ (2, 1) $:
Passo 8
Agora, utilizamos a equação do plano tangente:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = 16,x - 12,y - 17 $.