Questão 3 (2.0) Seja h(x, y)=f(3 x-x y^3, f(y+1, x^2) ), onde f é uma função de classe C^1,
b) Conhecendo os valores abaixo, determine a equaçào do plano tangente o gráfico de h no ponto (2,1,3).
f(2,4)=-1, f(4,-1)=3, partial fpartial x(2,4)=1, partial fpartial x(4,-1)=4, partial fpartial y(2,4)=6 e partial fpartial y(4,-1)=2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ h(x, y) = f(3x - xy^3, f(y + 1, x^2)) $, onde $ f $ é uma função diferenciável ($ C^1 $). Queremos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $ (2, 1, 3) $. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes internas da função $ h $. Vamos definir:
h
u = 3x - xy^3
Então, $ h(x, y) = f(u, v) $.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ h $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto dado. Usamos a regra da cadeia:
h
x

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
u
v
partial upartial x = 3 - y^3
partial upartial y = -3xy^2

Passo 5

No ponto $ (2, 1, 3) $, calculamos $ u $ e $ v $:
(2, 1, 3)
u
Assim, precisamos das derivadas de $ f $ em $ (4, -1) $ e $ (2, 4) $, que já nos foram dadas.

Passo 6

Usando os valores fornecidos:
partial fpartial x(4, -1) = 4 e partial fpartial y(4, -1) = 2
partial fpartial x(2, 4) = 1 e partial fpartial y(2, 4) = 6

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais de $ h $ em $ (2, 1) $:
h
(2, 1)

Passo 8

Agora, utilizamos a equação do plano tangente:
z = z0 + partial hpartial x(x - x0) + partial hpartial y(y - y0)
Substituindo os valores:
z = 3 + 16(x - 2) - 12(y - 1)
z = 3 + 16x - 32 - 12y + 12
z = 16x - 12y - 17

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = 16,x - 12,y - 17 $.

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