Evaluating Polar Integrals
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 e^-(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

O exercício pede para transformar a integral integral0^1integral0^raiz1-x^2e^-(x^2+y^2),dy,dx de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e depois calcular o valor. O assunto aqui é integrais duplas em coordenadas polares, em que usamos as substituições x=rcostheta, y=rsintheta e inserimos o fator Jacobiano r.

Passo 2

A região de integração no plano (x,y) é o quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante, já que 0<= x<=1 e 0<= y<=raiz1-x^2. Em coordenadas polares isso vira 0<= r<=1 e 0<=theta<=tfracpi2.
Substituindo na integral, o integrando e^-(x^2+y^2) fica e^-r^2 e o elemento de área dx,dy passa a ser r,dr,dtheta. A integral torna-se
integral0^pi2integral0^1e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Para computar a integral em r, fazemos a mudança de variável u=r^2, logo du=2r,dr ou r,dr=tfrac12,du. Isso dá
integral0^1e^-r^2,r,dr=12integral0^1e^-u,du=12(1-e^-1)

Passo 4

Sobrou a integral em theta, que é simples:
integral0^pi2dtheta=pi2
Multiplicando os resultados, obtemos
pi2times12(1-e^-1)=pi4(1-e^-1)

Resposta

pi4l(1-e^-1r)

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