Evaluating Polar Integrals
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
In Exercises 1-16, change the Cartesian integral into an equivalent polar integral. Then evaluate the polar integral.
Passo 1
O exercício pede para transformar a integral
de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e depois calcular o valor. O assunto aqui é integrais duplas em coordenadas polares, em que usamos as substituições
,
e inserimos o fator Jacobiano
.
Passo 2
A região de integração no plano
é o quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante, já que
e
. Em coordenadas polares isso vira
e
.
Substituindo na integral, o integrando fica
e o elemento de área
passa a ser
. A integral torna-se
Substituindo na integral, o integrando
Passo 3
Para computar a integral em
, fazemos a mudança de variável
, logo
ou
. Isso dá
Passo 4
Sobrou a integral em
, que é simples:
Multiplicando os resultados, obtemos