Determine o maior domínio possível em \mathbb{R} para a função
f(x)=\log _{2}(3 x+4) .

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\log_{2}(3x+4) e pede: determinar o maior domínio possível em \mathbb{R}.
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão dentro do log é 3x+4.
  • A base do log é 2 (constante).
  • O domínio procurado é um subconjunto de \mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo a condição para existir \log real. Para que uma expressão \log_{a}(t) esteja bem definida como um número real é necessário que:
a>0,\qquad a\neq 1,\qquad t>0.
Aqui a é a base do log e t é o argumento (o que está dentro do log). A razão: logaritmo é a função inversa da exponenciação a^{y}=t; para existir solução real y precisamos que t>0 e que a base seja válida ( a>0, a\neq1).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: a base é 2. Verificamos rapidamente que
2>0\quad\text{e}\quad 2\neq1,
logo a base está ok e não impõe restrição extra. A restrição vem do argumento 3x+4: precisamos que
3x+4>0.

Passo 4

Resolver a desigualdade 3x+4>0 passo a passo:
  1. Subtrai-se 4 dos dois lados:
3x> -4.
  1. Divide-se por 3. Como 3>0, a direção da desigualdade não muda:
x> -\frac{4}{3}.
Portanto todos os x maiores que -\tfrac{4}{3} são permitidos; x=-\tfrac{4}{3} não serve porque aí o argumento seria zero e \log de zero não existe; valores menores que -\tfrac{4}{3} dão argumento negativo e também não são permitidos.

Passo 5

Conclusão e interpretação prática: o maior domínio em \mathbb{R} é o conjunto de todos os números reais estritamente maiores que -\tfrac{4}{3}. Exemplos rápidos para fixar: para x=0 temos \log_{2}(3\cdot0+4)=\log_{2}(4)=2 (válido); para x=-\tfrac{4}{3} o argumento seria 0 (inválido); para x=-2 o argumento seria 3(-2)+4=-2 (inválido).

Resposta

\left(-\dfrac{4}{3},\infty\right)

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