Responda:
Determine A e B tal que
6 \cos (6 x)=A+B \sin ^{2}(3 x) .
Determine constantes C, D, E tais que
\frac{1-\sin (2 x)}{1+\sin (2 x)}=C \operatorname{sec} ^{2}(2 x)+D \operatorname{sec} (2 x) \tan (2 x)+E \tan ^{2}(2 x) .

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado pede e o que é dado.
Para a primeira parte pede-se determinar A e B tais que
6\cos(6x)=A+B\sin^{2}(3x).
Para a segunda parte pede-se determinar C,D,E tais que
\frac{1-\sin(2x)}{1+\sin(2x)}=C\operatorname{sec}^{2}(2x)+D\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)+E\tan^{2}(2x).
Ambas as igualdades devem valer para todo x em que as expressões estão definidas. Vamos transformar cada membro usando identidades trigonométricas conhecidas até obter a forma desejada.

Passo 2

Resolver a primeira igualdade: lembrar a identidade de ângulo duplo entre cosseno e seno. A identidade básica é
\cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta.
Aqui podemos usar \theta=3x, então
\cos(6x)=\cos(2\cdot 3x)=1-2\sin^{2}(3x).

Passo 3

Multiplicando essa identidade por 6 obtemos
6\cos(6x)=6\bigl(1-2\sin^{2}(3x)\bigr)=6-12\sin^{2}(3x).
Comparando com a forma A+B\sin^{2}(3x) vemos que os coeficientes correspondem term a term, logo
A=6,\qquad B=-12.

Passo 4

Agora a segunda igualdade. Começo simplificando a razão \dfrac{1-\sin(2x)}{1+\sin(2x)} em termos de \operatorname{sec} e \tan. Use a notação
\sin(2x)=\sin(2x),\qquad \cos(2x)=\cos(2x),\qquad \operatorname{sec}(2x)=\frac{1}{\cos(2x)},\qquad \tan(2x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}.

Passo 5

Divido numerador e denominador por \cos(2x) (assumindo \cos(2x)\neq0, que é onde \operatorname{sec} e \tan estão definidos). Assim
\frac{1-\sin(2x)}{1+\sin(2x)} =\frac{\dfrac{1-\sin(2x)}{\cos(2x)}}{\dfrac{1+\sin(2x)}{\cos(2x)}} =\frac{\operatorname{sec}(2x)-\tan(2x)}{\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)}.

Passo 6

Agora use a identidade algébrica útil: para quaisquer a,b com a^{2}-b^{2}=1 vale
\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}-b^{2}}=(a-b)^{2},
porque o denominador a^{2}-b^{2} cancela. No nosso caso tomamos a=\operatorname{sec}(2x) e b=\tan(2x). Vale a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}(2x)-\tan^{2}(2x)=1,
que decorre de \operatorname{sec}^{2}(\varphi)=1+\tan^{2}(\varphi). Portanto podemos aplicar a fórmula com segurança e obter
\frac{\operatorname{sec}(2x)-\tan(2x)}{\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)}=\bigl(\operatorname{sec}(2x)-\tan(2x)\bigr)^{2}.

Passo 7

Agora expandimos o quadrado:
\bigl(\operatorname{sec}(2x)-\tan(2x)\bigr)^{2}=\operatorname{sec}^{2}(2x)-2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)+\tan^{2}(2x).
Esta expressão está exatamente na forma linear em \operatorname{sec}^{2}(2x), \operatorname{sec}(2x)\tan(2x) e \tan^{2}(2x) pedida. Comparando termo a termo, obtemos
C=1,\qquad D=-2,\qquad E=1.

Resposta

A=6,\;B=-12
C=1,\;D=-2,\;E=1

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