Determine o maior domínio D \subset R^{2}, de modo que as correspondências abaixo definam uma função f: D \rightarrow R. Faça um esboço do gráfico de D em \mathrm{R}^{2} e encontre \operatorname{Im}(\mathrm{f}).
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\sqrt{16-x{2}-y{2}}

Passo 1

O enunciado dá a correspondência
\mathrm{f}(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}
e pede três coisas:
  • Determinar o maior domínio D\subset\mathbb{R}^{2} tal que a expressão define uma função real f:D\to\mathbb{R}.
  • Fazer um esboço do conjunto D em \mathbb{R}^{2}.
  • Encontrar a imagem \operatorname{Im}(f).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A operação presente é a raiz quadrada real (símbolo \sqrt{\;\;}), que só produz números reais quando o radicando é maior ou igual a zero.
  • O radicando é a função de x e y dada por 16-x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Entender quando a expressão está bem definida (ou seja, quando o valor dentro da raiz é não-negativo).
Fórmula / conceito usado: a raiz quadrada real \sqrt{z} está definida (como número real) somente se z\ge 0. Aqui z=16-x^{2}-y^{2}.
Portanto exigimos
16-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Isolando os termos em x e y obtemos a desigualdade equivalente
x^{2}+y^{2}\le 16.
Isto é uma condição sobre pares (x,y) que define o domínio D.

Passo 3

Interpretação geométrica do conjunto D.
A desigualdade \,x^{2}+y^{2}\le 16\, é exatamente a equação de um disco fechado centrado na origem com raio 4. Mais precisamente:
  • O contorno (fronteira) é a circunferência de equação \,x^{2}+y^{2}=16\,, que tem raio 4 e pontos notáveis (\pm 4,0) e (0,\pm 4).
  • O interior é formado por todos os pontos com x^{2}+y^{2}<16.
Como esboçar D no papel: desenhe o plano cartesiano, marque o ponto (0,0), desenhe uma circunferência centrada na origem com raio 4 (pode marcar os pontos (4,0),(0,4),(-4,0),(0,-4)) e sombreie toda a região interna incluindo a borda. Essa região sombreada é D.

Passo 4

Verificar que a correspondência realmente define uma função e comentar sobre unicidade do valor.
Para cada ponto (x,y) que satisfaz \,x^{2}+y^{2}\le 16\,, o valor 16-x^{2}-y^{2} é um número real não-negativo, e a aplicação da raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} dá um único valor real não-negativo. Logo, a correspondência associa a cada (x,y)\in D exatamente um número real \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}; portanto é de fato uma função f:D\to\mathbb{R}.
Observação didática rápida: se a raiz fosse considerada com sinal \pm haveria ambiguidade; mas por convenção a notação \sqrt{\cdot} indica a raiz principal (não-negativa), assegurando unicidade.

Passo 5

Determinar a imagem \operatorname{Im}(f) (o conjunto de valores reais que f assume).
Analisar os possíveis valores do radicando:
  • Como (x,y)\in D satisfaz 0\le 16-x^{2}-y^{2}\le 16, o radicando toma todos os valores no intervalo [0,16].
    Aplicando a raiz quadrada a esses valores obtemos todos os números no intervalo
[0,\sqrt{16}]=[0,4].
Mostrar que todo t\in[0,4] é realmente atingido por f (para garantir que a imagem é exatamente o intervalo e não um subconjunto):
  • Dado t\in[0,4], defina r=\sqrt{16-t^{2}} (note que 16-t^{2}\in[0,16] assim r é real).
  • Escolhendo o ponto (x,y)=(r,0) (ou qualquer ponto com x^{2}+y^{2}=r^{2}), tem-se
f(r,0)=\sqrt{16-r^{2}}=\sqrt{16-(16-t^{2})}=\sqrt{t^{2}}=t,
já que t\ge 0. Logo todo t\in[0,4] é atingido.
Portanto \operatorname{Im}(f)=[0,4].

Passo 6

Algumas observações úteis para a prova (motivação e exemplos concretos):
  • O valor máximo de f é 4, obtido em (0,0): f(0,0)=\sqrt{16}=4.
  • O valor mínimo de f é 0, obtido em qualquer ponto da circunferência \,x^{2}+y^{2}=16\,: por exemplo f(4,0)=0.
  • Se precisar mostrar em prova que D é o “maior” domínio possível, argumente que qualquer ponto fora do disco violaria 16-x^{2}-y^{2}\ge 0 e daria número complexo, então não pertence ao domínio real.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 16\}\n \operatorname{Im}(f)=[0,4]

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