Determine o maior domínio
, de modo que as correspondências abaixo definam uma função
. Faça um esboço do gráfico de
em
e encontre
.
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\sqrt{16-x{2}-y{2}}
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\sqrt{16-x{2}-y{2}}
Passo 1
O enunciado dá a correspondência
e pede três coisas:
- Determinar o maior domínio
tal que a expressão define uma função real . - Fazer um esboço do conjunto
em . - Encontrar a imagem
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A operação presente é a raiz quadrada real (símbolo
), que só produz números reais quando o radicando é maior ou igual a zero. - O radicando é a função de
e dada por .
Passo 2
Entender quando a expressão está bem definida (ou seja, quando o valor dentro da raiz é não-negativo).
Fórmula / conceito usado: a raiz quadrada real
está definida (como número real) somente se
. Aqui
.
Portanto exigimos
Isolando os termos em
e
obtemos a desigualdade equivalente
Isto é uma condição sobre pares
que define o domínio
.
Passo 3
Interpretação geométrica do conjunto
.
A desigualdade
é exatamente a equação de um disco fechado centrado na origem com raio
. Mais precisamente:
- O contorno (fronteira) é a circunferência de equação
, que tem raio e pontos notáveis e . - O interior é formado por todos os pontos com
.
Como esboçar
no papel: desenhe o plano cartesiano, marque o ponto
, desenhe uma circunferência centrada na origem com raio
(pode marcar os pontos
) e sombreie toda a região interna incluindo a borda. Essa região sombreada é
.
Passo 4
Verificar que a correspondência realmente define uma função e comentar sobre unicidade do valor.
Para cada ponto
que satisfaz
, o valor
é um número real não-negativo, e a aplicação da raiz quadrada principal
dá um único valor real não-negativo. Logo, a correspondência associa a cada
exatamente um número real
; portanto é de fato uma função
.
Observação didática rápida: se a raiz fosse considerada com sinal
haveria ambiguidade; mas por convenção a notação
indica a raiz principal (não-negativa), assegurando unicidade.
Passo 5
Determinar a imagem
(o conjunto de valores reais que
assume).
Analisar os possíveis valores do radicando:
- Como
satisfaz , o radicando toma todos os valores no intervalo .
Aplicando a raiz quadrada a esses valores obtemos todos os números no intervalo
Mostrar que todo
é realmente atingido por
(para garantir que a imagem é exatamente o intervalo e não um subconjunto):
- Dado
, defina (note que assim é real). - Escolhendo o ponto
(ou qualquer ponto com ), tem-se
já que
. Logo todo
é atingido.
Portanto
.
Passo 6
Algumas observações úteis para a prova (motivação e exemplos concretos):
- O valor máximo de
é , obtido em : . - O valor mínimo de
é , obtido em qualquer ponto da circunferência : por exemplo . - Se precisar mostrar em prova que
é o “maior” domínio possível, argumente que qualquer ponto fora do disco violaria e daria número complexo, então não pertence ao domínio real.