Determine o maior intervalo em que o problema de valor inicial abaixo tem solução, sem resolvê-lo:
\left\{\begin{array}{l} \left(t^{2}-1\right) \frac{d y}{d t}+t y=t^{2} \\\ y(2)=y_{0} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} \left(t^{2}-1\right)\dfrac{dy}{dt}+t\,y=t^{2},\\[6pt] y(2)=y_{0}, \end{cases}
e pede: determinar o maior intervalo que contém t_{0}=2 em que existe (e é única) a solução, sem resolver a equação. Informações relevantes:
  • A equação é de primeira ordem linear em y.
  • O ponto inicial é t_{0}=2.
  • Há um fator \left(t^{2}-1\right) multiplicando \dfrac{dy}{dt}.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão \dfrac{dy}{dt}+p(t)\,y=q(t) exige dividir por \left(t^{2}-1\right). Fazendo isso (quando permitido) obtém-se
\dfrac{dy}{dt} + \underbrace{\dfrac{t}{t^{2}-1}}_{p(t)}\,y=\underbrace{\dfrac{t^{2}}{t^{2}-1}}_{q(t)}.
Observação importante: essa divisão só é válida quando t^{2}-1\neq0, ou seja, quando t\neq\pm1. Portanto p(t) e q(t) estão definidos apenas para t\in(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Enunciado da ferramenta que vamos usar (explicada de forma didática):
  • Teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem: se p(t) e q(t) são contínuas em um intervalo aberto I que contém t_{0}, então existe uma solução única do problema de valor inicial definida em todo o intervalo I.
    Explicação simples: a continuidade de p e q garante que a equação não apresenta “explosões” nas suas coeficientes dentro do intervalo, e essa regularidade permite construir (por integração fator integrante ou por Picard) uma única solução que vale em todo o intervalo.

Passo 4

Analisar onde p(t) e q(t) são contínuas:
  • Como p(t)=\dfrac{t}{t^{2}-1} e q(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{2}-1} são funções racionais, são contínuas para todo t com t^{2}-1\neq0.
  • Logo, os pontos singulares (descontinuidade) são t=\pm1.
    O ponto inicial t_{0}=2 pertence ao intervalo (1,\infty), que é um dos intervalos de continuidade maximal de p e q. Em particular, p e q são contínuas em (1,\infty) e não podem ser continuadas através de t=1 porque o denominador zera aí.

Passo 5

Concluir qual é o maior intervalo que contém t_{0}=2 onde valem as hipóteses do teorema:
  • Qualquer solução que comece em t=2 só pode ser garantida (pelo teorema) enquanto permanecer no intervalo de continuidade de p e q que contém 2, isto é, em (1,\infty).
  • Não se pode estender a garantia de existência/unicidade para além de t=1 para a esquerda porque em t=1 os coeficientes ficam singulares; portanto (1,\infty) é o maior intervalo aberto contendo 2 onde a solução existe e é única segundo o teorema padrão.

Resposta

(1,\infty)

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