Observação importante: essa divisão só é válida quando t^{2}-1\neq0, ou seja, quando t\neq\pm1. Portanto p(t) e q(t) estão definidos apenas para t\in(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Passo 3
Enunciado da ferramenta que vamos usar (explicada de forma didática):
Teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem: se p(t) e q(t) são contínuas em um intervalo aberto I que contém t_{0}, então existe uma solução única do problema de valor inicial definida em todo o intervalo I.
Explicação simples: a continuidade de p e q garante que a equação não apresenta “explosões” nas suas coeficientes dentro do intervalo, e essa regularidade permite construir (por integração fator integrante ou por Picard) uma única solução que vale em todo o intervalo.
Passo 4
Analisar onde p(t) e q(t) são contínuas:
Como p(t)=\dfrac{t}{t^{2}-1} e q(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{2}-1} são funções racionais, são contínuas para todo t com t^{2}-1\neq0.
Logo, os pontos singulares (descontinuidade) são t=\pm1.
O ponto inicial t_{0}=2 pertence ao intervalo (1,\infty), que é um dos intervalos de continuidade maximal de p e q. Em particular, p e q são contínuas em (1,\infty) e não podem ser continuadas através de t=1 porque o denominador zera aí.
Passo 5
Concluir qual é o maior intervalo que contém t_{0}=2 onde valem as hipóteses do teorema:
Qualquer solução que comece em t=2 só pode ser garantida (pelo teorema) enquanto permanecer no intervalo de continuidade de p e q que contém 2, isto é, em (1,\infty).
Não se pode estender a garantia de existência/unicidade para além de t=1 para a esquerda porque em t=1 os coeficientes ficam singulares; portanto (1,\infty) é o maior intervalo aberto contendo 2 onde a solução existe e é única segundo o teorema padrão.