Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea no intervalo
:
Informações dadas:
- A equação é
. - O termo não homogêneo é
. - O intervalo considerado é
(isso garante e definida).
O objetivo é encontrar a solução geralválida nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Isso leva à equação característica
Como as raízes são complexas conjugadas, as soluções reais fundamentais são
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para obter uma solução particular da equação completa usaremos o método de variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular da forma
onde
e
são funções a determinar. Para esse método precisamos do Wronskiano das soluções fundamentais:
O Wronskiano é
(não nulo), então o método é válido.
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros para a equação
(coeficiente de
igual a 1) dão:
Simplificamos cada derivada:
Passo 5
Agora integramos
e
para obter
e
. Começando por
:
(Despreza-se constante de integração aqui porque constantes incorporariam combinações das soluções homogêneas.)
Para
escrevemos
de uma forma conveniente:
Então
Sabendo que
, obtemos
Novamente desprezamos a constante de integração pela mesma razão.
Passo 6
Montamos a solução particular:
Substituindo
e
:
As parcelas com
se cancelam:
logo sobra
No intervalo
temos
, logo podemos omitir as barras de valor absoluto se desejar.
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias. Esta é a solução geral válida em
.