Encontre a solução geral das equações:
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg} t, 0<t<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea no intervalo 0<t<\pi/2:
y''+y=\tan t,\qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.
Informações dadas:
  • A equação é y''+y=\tan t.
  • O termo não homogêneo é \tan t.
  • O intervalo considerado é 0<t<\pi/2 (isso garante \cos t>0 e \tan t definida).
    O objetivo é encontrar a solução geral y(t) válida nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Isso leva à equação característica
r^2+1=0\quad\Rightarrow\quad r=\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas, as soluções reais fundamentais são
y_1(t)=\cos t,\qquad y_2(t)=\sin t.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos t+C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para obter uma solução particular da equação completa usaremos o método de variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(t)=u_1(t)\,y_1(t)+u_2(t)\,y_2(t),
onde u_1 e u_2 são funções a determinar. Para esse método precisamos do Wronskiano das soluções fundamentais:
W(t)=\begin{vmatrix}\cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t\end{vmatrix}=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
O Wronskiano é 1 (não nulo), então o método é válido.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros para a equação y''+y=\tan t (coeficiente de y'' igual a 1) dão:
u_1'=-\frac{(\tan t)\,y_2}{W}=-\tan t\cdot\sin t, \qquad u_2'=\frac{(\tan t)\,y_1}{W}=\tan t\cdot\cos t.
Simplificamos cada derivada:
u_1'=-\tan t\sin t=-\frac{\sin^2 t}{\cos t},
u_2'=\tan t\cos t=\sin t.

Passo 5

Agora integramos u_1' e u_2' para obter u_1 e u_2. Começando por u_2:
u_2(t)=\int u_2'\,dt=\int \sin t\,dt=-\cos t.
(Despreza-se constante de integração aqui porque constantes incorporariam combinações das soluções homogêneas.)
Para u_1 escrevemos u_1' de uma forma conveniente:
u_1'=-\frac{\sin^2 t}{\cos t}=-\frac{1-\cos^2 t}{\cos t}=-\operatorname{sec} t+\cos t.
Então
u_1(t)=\int u_1'\,dt=\int(-\operatorname{sec} t)\,dt+\int\cos t\,dt.
Sabendo que \int \operatorname{sec} t\,dt=\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|+C, obtemos
u_1(t)=-\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|+\sin t.
Novamente desprezamos a constante de integração pela mesma razão.

Passo 6

Montamos a solução particular:
y_p(t)=u_1(t)\cos t+u_2(t)\sin t.
Substituindo u_1 e u_2:
y_p(t)=\big(-\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|+\sin t\big)\cos t+(-\cos t)\sin t.
As parcelas com \sin t\cos t se cancelam:
\sin t\cos t - \cos t\sin t =0,
logo sobra
y_p(t)=-\cos t\;\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|.
No intervalo 0<t<\pi/2 temos \operatorname{sec} t+\tan t>0, logo podemos omitir as barras de valor absoluto se desejar.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos t+C_2\sin t-\cos t\;\ln\!\big(\operatorname{sec} t+\tan t\big),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias. Esta é a solução geral válida em 0<t<\pi/2.

Resposta

y(t)=C_1\cos t+C_2\sin t-\cos t\ln\!\big(\operatorname{sec} t+\tan t\big)

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