( 2,5 pt.) Considere um campo escalar
representando uma densidade e um campo vetorial
representando um fluxo, onde
é o vetor posiçāo e
é o tempo. A equação da continuidade é dada por:
.
(a) (0,5 pt.) Utilizando o teorema da divergência, derive a forma integral da equação da continuidade.
(b) ( 0,5 pt.) Interprete fisicamente o significado da equaçāo da continuidade na forma integral.
(c) (0,5 pt.) Explique o significado físico de cada termo na forma diferencial da equaçāo da continuidade.
(d) (0,5 pt.) Se escrevermos
, qual é a interpretaçāo física do campo vetorial
?
(e) (
pt.) Considere a densidade
, onde
é uma constante. Interprete fisicamente esta expressāo no contexto de mecânica clássica.
(a) (0,5 pt.) Utilizando o teorema da divergência, derive a forma integral da equação da continuidade.
(b) ( 0,5 pt.) Interprete fisicamente o significado da equaçāo da continuidade na forma integral.
(c) (0,5 pt.) Explique o significado físico de cada termo na forma diferencial da equaçāo da continuidade.
(d) (0,5 pt.) Se escrevermos
(e) (
Passo 1
O enunciado dá:
- Um campo escalar
que representa uma densidade (por exemplo massa por unidade de volume). - Um campo vetorial
que representa um fluxo (por exemplo fluxo de massa: quantidade que atravessa área por unidade de tempo). - A equação diferencial da continuidade:
O que o enunciado pede:
(a) derivar a forma integral da equação da continuidade usando o teorema da divergência;
(b) interpretar fisicamente a forma integral;
(c) explicar fisicamente cada termo da forma diferencial;
(d) interpretar fisicamente quando
;
(e) interpretar fisicamente no contexto da mecânica clássica.
(a) derivar a forma integral da equação da continuidade usando o teorema da divergência;
(b) interpretar fisicamente a forma integral;
(c) explicar fisicamente cada termo da forma diferencial;
(d) interpretar fisicamente
(e) interpretar fisicamente
Passo 2
Derivação da forma integral (passo a passo, usando o teorema da divergência).
- Começo integrando a equação diferencial sobre um volume fixo
com superfície orientada para fora :
- Separando as integrais:
- O volume
é fixo (não depende de ), logo podemos trocar derivada temporal e integral na primeira parcela:
- Agora aplico o teorema da divergência (que diz que, para um campo vetorial bem comportado
,
onde
é o elemento de área apontando para fora). Substituindo:
- Reescrevendo de forma mais direta:
Essa é a forma integral da equação da continuidade.
Passo 3
Interpretação física da forma integral (parte b), com linguagem concreta:
-
O termo
é a taxa de variação temporal da quantidade total (por exemplo massa) contida dentro do volume . Ou seja: quanto a massa dentro de está aumentando ou diminuindo por unidade de tempo. -
O termo
é o fluxo líquido saindo do volume através da superfície . Em cada ponto da superfície, é a quantidade por unidade de área e por unidade de tempo que sai (se positivo) ou entra (se negativo) por ali; integrando sobre obtém-se o fluxo total que sai de . -
A igualdade
diz, em palavras: a variação da massa dentro de
é igual à massa que entrou com sinal negativo; isto é, o aumento da massa interna decorre do fluxo entrando e o decréscimo decorre do fluxo saindo. O sinal negativo aparece porque fluxo positivo (saindo) diminui a massa dentro do volume.
Exemplo rápido e intuitivo: se
(unidades de massa/tempo), então a massa dentro de
diminui a
unidades por tempo:
.
Passo 4
Significado físico de cada termo na forma diferencial (parte c), com derivação física local:
-
Termo
: é a taxa de variação temporal local da densidade no ponto . Unidades: (massa)/(volume·tempo). Se em um ponto, a densidade naquele ponto está crescendo no tempo; se , está diminuindo. -
Termo
: a divergência do fluxo mede o “fluxo líquido saindo por unidade de volume” em torno do ponto . Intuição mediante um cubinho pequeno de lado : o fluxo total que sai do cubinho é aproximadamente
logo
é o fluxo por unidade de volume. Se
há mais fluxo saindo do que entrando (o ponto age como fonte local de perda de massa); se
, há mais fluxo entrando (o ponto age como “ponto de acúmulo”).
- A equação
equilibra essas duas quantidades: a variação temporal local da densidade é exatamente compensada pelo fluxo líquido que sai/entra. É a expressão local da conservação (sem fontes nem sumidouros). Se houvesse geração local de massa com taxa , a equação seria .
Passo 5
Interpretação física de
quando
(parte d):
-
Escrevendo
dizemos que o fluxo em cada ponto é igual à densidade naquele ponto multiplicada por um vetor . Assim tem unidades de velocidade (comprimento/tempo) e representa o campo de velocidade dos “portadores” da quantidade conservada (por exemplo: a velocidade do fluido que transporta a massa). -
Interpretação direta: imagine pequenas partículas de massa movendo-se; a quantidade de massa que atravessa uma superfície por unidade de tempo é densidade local vezes componente normal da velocidade. Logo
é a velocidade média com que a densidade se desloca naquele ponto. -
Consequência matemática útil: substituindo na continuidade obtemos a forma convectiva
Aplicando a regra do produto isso vira
A combinação
é a derivada material
, ou seja a variação da densidade observada seguindo uma partícula. Assim
Isso significa: a densidade de uma partícula muda ao longo de sua trajetória apenas se o campo de velocidade tiver divergência (compressão/expansão do fluxo). Em fluxo incompressível (
) a densidade de cada partícula se mantém constante.
Passo 6
Interpretação física de
(parte e):
- A função
é o delta de Dirac espacial que concentra toda a densidade no ponto : para qualquer função teste ,
Assim
é zero em todo lugar exceto em
(espacialmente concentrada).
- O fator
concentra essa densidade também num instante único . Integrando sobre o espaço num tempo fixo :
Isso mostra que, para
, a massa total no espaço é
; no instante
a massa total (integrando também no tempo) é
. Mais explicitamente, integrando também no tempo:
-
Interpretação física: essa expressão representa uma massa pontual de valor
localizada no ponto e existente apenas no instante . Em termos de mecânica clássica, é como um evento pontual que concentra toda a massa em um único ponto do espaço-tempo: um “pico” de massa no espaço e no tempo. Não descreve um corpo que se move ao longo do tempo (para isso usar-se-ia , que concentra a massa ao longo da trajetória para cada tempo). -
Observação sobre conservação: tal densidade com o fator
corresponde a criação (ou destruição) instantânea de massa em se não houver um fluxo adequado que compense; em outras palavras, sozinha ela não satisfaz a equação de continuidade homogênea durante todos os tempos (ela age como uma fonte pontual no espaço-tempo). Se o objetivo é modelar um ponto-massa que apenas está presente em , essa expressão é apropriada; para um ponto-massa contínuo no tempo use um delta espacial ligado à trajetória temporal.
Resposta
(a)
(b) A taxa de variação da quantidade total (por ex. massa) dentro de é igual ao negativo do fluxo líquido através da superfície
: o que sai reduz a quantidade interna; o que entra aumenta.
(c) é a taxa local de variação da densidade;
é o fluxo líquido por unidade de volume (divergência do fluxo); a soma nula expressa conservação local (variação temporal compensada pelo fluxo).
(d) é o campo de velocidade dos portadores da densidade (velocidade média com que a quantidade se desloca), pois
dá fluxo = densidade × velocidade.
(e) representa uma massa pontual
localizada em
e presente apenas no instante
(um evento pontual no espaço–tempo); integrando sobre todo o espaço e tempo obtém-se a massa total
.
(b) A taxa de variação da quantidade total (por ex. massa) dentro de
(c)
(d)
(e)