(2,5 pt.) Analise um campo vetorial \vec{v}(\vec{r}, t), onde \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} é o vetor posição e t é o tempo.
(a) ( \mathbf{0 , 5} pt.) Interprete fisicamente a condiçāo \vec{\nabla} \cdot \vec{v}=0. Em que tipo de sistemas físicos esta condição é comumente encontrada?
(b) ( 0,5 pt.) Considere a decomposição \vec{v}=\vec{\nabla} \wedge(\vec{A}-\vec{\nabla} \varphi). Explique o significado físico dos campos \vec{A} e \varphi com relaçāo ao fato de ser uma decomposição de uma parcela irrotacional e a outra solenoidal.
(c) ( \mathbf{0 , 5} pt.) Defina matematicamente o que significa \vec{v} ser um campo rotacional e dê um exemplo físico de tal campo.
(d) ( \mathbf{1 , 0} pt.) Analise um campo vetorial \vec{v} que satisfaz simultaneamente \vec{\nabla} \cdot \vec{v}=0 e \vec{\nabla} \wedge \vec{v}=\overrightarrow{0}. a) Que tipo especial de campo é este? b) Como ele pode ser expresso em termos de um potencial escalar? c) Dê um exemplo de um campo físico que satisfaz estas condições.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas (com partes):\n
(a) Interpretar fisicamente a condição \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 e dizer em que sistemas essa condição aparece com frequência.\n
(b) Dada a decomposição \vec{v}=\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}-\vec{\nabla}\varphi), explicar fisicamente o papel dos campos \vec{A} e \varphi em relação ao fato de termos uma parcela irrotacional e outra solenoidal.\n
(c) Definir matematicamente o que significa \vec{v} ser um campo rotacional e dar um exemplo físico.\n
(d) Para \vec{v} que satisfaz simultaneamente \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 e \vec{\nabla}\wedge\vec{v}=\overrightarrow{0}: (i) que tipo especial de campo é esse; (ii) como expressá-lo em termos de um potencial escalar; (iii) dar um exemplo físico que satisfaça as duas condições.\n
Informações que temos: o campo vetorial \vec{v}(\vec{r},t) depende da posição \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} e do tempo t. Não há figuras adicionais. A resolução pedida deve explicar os conceitos e mostrar exemplos.\n
Passo 2
(a) Significado físico de \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0.\n
Definição matemática rápida e intuição: a divergência de um campo vetorial \vec{v} é \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=\partial_x v_x+\partial_y v_y+\partial_z v_z. Ela mede a taxa local de “saída” do fluxo por unidade de volume — pense num pequeno cubinho: se mais fluido sai do cubinho do que entra, a divergência é positiva; se entra mais do que sai, é negativa. Quando \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 em um ponto, o campo não cria nem destrói “volume” localmente: o fluxo que entra é igual ao que sai.\n
Interpretação física succincta: \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 caracteriza campos solenoidais ou incompressíveis — em fluidos significa fluxo incompressível (densidade constante localmente) e, em eletromagnetismo, é a condição \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 para o campo magnético (\vec{B}) (não existem “monopólos magnéticos”).\n
Sistemas físicos em que aparece comumente:\n
Fluidos incompressíveis (ex.: água a baixas velocidades comparadas à velocidade do som): a velocidade do fluido \vec{u} satisfaz \vec{\nabla}\cdot\vec{u}=0. Isso vem da equação da continuidade para densidade constante.\n
Campos de corrente estacionária (em certas aproximações) e em problemas de campo vetorial onde não há fontes nem sumidouros locais.\n
Dica prática para prova: quando ver \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0, mentalmente associe a “incompressível / sem fontes locais”. Isso permite muitas simplificações, p.ex. integrar por partes sem termos de superfície que representem fonte/puits locais.
Passo 3
(b) Significado físico de \vec{A} e \varphi na decomposição \vec{v}=\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}-\vec{\nabla}\varphi).\n
Observação matemática imediata: \vec{\nabla}\wedge(\vec{A}-\vec{\nabla}\varphi)=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}-\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\varphi). Mas \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\varphi)=\overrightarrow{0} para qualquer função escalar \varphi (o rotacional do gradiente é sempre zero). Logo a expressão dada reduz-se a\n\vec{v}=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}.\nIsto mostra que o termo -\vec{\nabla}\varphi dentro do argumento do rotacional não altera \vec{v} — ele é uma liberdade matemática chamada de liberdade de gauge.\n
Interpretação física e relação com decomposição em parcela irrotacional + solenoidal:\n- Em uma decomposição canônica (teorema de Helmholtz) uma campo vetorial decente pode ser escrito como soma de um termo irrotacional (gradiente de um potencial escalar) e um termo solenoidal (rotacional de um potencial vetorial): tipicamente\n\vec{v} = -\vec{\nabla}\varphi + \vec{\nabla}\times\vec{A}.\nO termo -\vec{\nabla}\varphi é irrotacional porque \vec{\nabla}\times(-\vec{\nabla}\varphi)=\vec{0}. O termo \vec{\nabla}\times\vec{A} é solenoidal porque \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})=0.\n- No enunciado a escrita \vec{\nabla}\wedge(\vec{A}-\vec{\nabla}\varphi) mostra que \vec{A} é o potencial vetorial cujo rotacional gera a parte solenoidal do campo. O \varphi aparece ali só para indicar que se pode modificar \vec{A} por um gradiente sem mudar \vec{v}: isto é a chamada transformação de gauge \vec{A}\mapsto\vec{A}+\vec{\nabla}\chi (aqui \chi=-\varphi ), que deixa \vec{\nabla}\times\vec{A} inalterado.\n
Exemplos físicos para fixar a intuição:\n- Eletromagnetismo: o campo magnético \vec{B} é exatamente da forma \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. A função \varphi (ou \chi) corresponde à liberdade de escolher um gauge para o potencial vetorial \vec{A} — diferentes \vec{A} que difiram por \vec{\nabla}\chi geram o mesmo \vec{B}.\n- Em fluidos, a componente solenoidal da velocidade pode ser escrita como rotacional de um potencial vetorial; a componente irrotacional (se presente) vem de um potencial escalar. A decomposição ajuda a tratar separadamente vórtices (rotacional) e escoamentos potenciais (irrotacionais).\n
Resumo prático: \vec{A} é o potencial vetorial que gera a parte solenoidal do campo; \varphi aqui representa a liberdade de gauge (um potencial escalar cujo gradiente não contribui ao rotacional), e em uma escrita equivalente -\vec{\nabla}\varphi seria a parte explicitamente irrotacional.
Passo 4
(c) Definição matemática de “campo rotacional” e exemplo físico.\n
Definição: chamamos um campo vetorial de rotacional (ou simplesmente “rotacional”) quando seu rotacional não é nulo; ou seja,\n\text{\(\vec{v}\) é rotacional} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{\nabla}\times\vec{v}\neq\overrightarrow{0}.\nEm linguagem mais coloquial: existe rotação local (vorticidade) no campo; pequenas partículas colocadas no fluido tenderiam a girar.\n2) Exemplo físico concreto e cálculo simples: escoamento de corpo rígido em torno do eixo z com velocidade angular \Omega (campo de rotação plana). No plano xy defina\n\vec{v} = (-\Omega y)\,\hat{i} + (\Omega x)\,\hat{j} + 0\,\hat{k}.\nCalcule o rotacional (mostrar passo a passo):\n\vec{\nabla}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[4pt] \partial_x & \partial_y & \partial_z \\[4pt] -\Omega y & \Omega x & 0 \end{vmatrix}.\nAs componentes dão\n(\vec{\nabla}\times\vec{v})_x = \partial_y 0 - \partial_z(\Omega x)=0,\n(\vec{\nabla}\times\vec{v})_y = \partial_z(-\Omega y) - \partial_x 0=0,\n(\vec{\nabla}\times\vec{v})_z = \partial_x(\Omega x)-\partial_y(-\Omega y)=\Omega+\Omega=2\Omega.\nLogo\n\vec{\nabla}\times\vec{v} = 2\Omega\,\hat{k}\neq\overrightarrow{0},\nmostrando que o campo é rotacional. Físicamente, esse \vec{v} descreve um fluido em rotação sólida com vorticidade constante 2\Omega apontando para z. Outro exemplo físico: campo de velocidade dentro de um redemoinho ou qualquer campo com vórtices.]
Passo 5
(d) Análise do campo que satisfaz \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 e \vec{\nabla}\wedge\vec{v}=\overrightarrow{0} simultaneamente.\n
(i) Tipo especial de campo: tais campos são simultaneamente solenoidais (divergência zero) e irrotacionais (rotacional zero). Em inglês/terminologia comum chamam-se campos potenciais harmônicos ou simplesmente campos potenciais sem fontes; em termos simples: são campos que não têm fontes locais nem vorticidade. Em domínios simplesmente conexos isso identifica um campo conservativo cuja fonte é nula.\n
(ii) Expressão em termos de um potencial escalar: a condição \vec{\nabla}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} implica (em um domínio simplesmente conexo) que existe um potencial escalar \psi(\vec{r},t) tal que\n\vec{v}=\vec{\nabla}\psi.\nAplicando a condição de divergência nula obtemos uma equação para \psi:\n\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\psi)=\nabla^2\psi=0.\nIsto é, \psi satisfaz a equação de Laplace (\nabla^2\psi=0); por isso o campo é frequentemente chamado de campo potencial harmônico. Observação: algumas convenções de fluidos usam \vec{v}=-\vec{\nabla}\varphi (potencial de velocidade \varphi ), o sinal é convenção; o importante é que \psi ou \varphi seja harmônico.\n
(iii) Exemplo físico que satisfaça as condições: o exemplo mais simples e robusto é um campo de velocidade uniforme constante,\n\vec{v} = U\,\hat{i}\ncom U constante. Verificações rápidas:\n\vec{\nabla}\cdot\vec{v} = \partial_x U + \partial_y 0 + \partial_z 0 = 0,\n\vec{\nabla}\times\vec{v} = \overrightarrow{0},\nlogo ambas as condições são satisfeitas. Outro exemplo mais “não-trivial”: um campo derivado de um potencial harmônico, por exemplo \psi(x,y,z)=x^2-y^2-2z^2 NÃO serve porque \nabla^2\psi\neq0 — tem que escolher \psi com \nabla^2\psi=0. Um exemplo não-constante que funciona em 2D é \psi(x,y)=\Re\{(a/(x+iy))\} fora da origem (esse tipo de potencial descreve escoamento potencial em torno de um corpo, mas atenção com singularidades). Para prova, prefira citar o caso simples e regular: fluxo uniforme.\n
Comentário de prova: quando pedir para resolver problemas, se as condições div e curl forem ambas zero, procure imediatamente a representação por potencial escalar e a equação de Laplace — isso resolve muita coisa.
Resposta
(a) \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 significa que o campo é solenoidal (não tem fontes locais): em fluidos corresponde a escoamento incompressível (densidade local constante) e em eletromagnetismo aparece como \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 para o campo magnético.
(b) \vec{A} é o potencial vetorial cuja parte rotacional \vec{\nabla}\times\vec{A} produz a parcela solenoidal do campo; \varphi aparece como um gradiente dentro do rotacional e, por \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\varphi)=\vec{0}, representa a liberdade de gauge (modificação de \vec{A} por um gradiente que não altera \vec{v}). Em termos usuais da decomposição de Helmholtz, a parte irrotacional seria -\vec{\nabla}\varphi e a parte solenoidal \vec{\nabla}\times\vec{A}.
(c) Um campo é rotacional se \vec{\nabla}\times\vec{v}\neq\vec{0}. Exemplo físico: rotação rígida \vec{v}=(-\Omega y)\hat{i}+(\Omega x)\hat{j} tem \vec{\nabla}\times\vec{v}=2\Omega\hat{k}\neq\vec{0}.
(d-i) É um campo simultaneamente solenoidal e irrotacional (um campo potencial sem fontes).
(d-ii) Em domínio simplesmente conexo existe \psi tal que \vec{v}=\vec{\nabla}\psi e, pela divergência nula, \nabla^{2}\psi=0 (potencial harmônico).
(d-iii) Exemplo: fluxo uniforme \vec{v}=U\hat{i} (constante) satisfaz \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0 e \vec{\nabla}\times\vec{v}=\vec{0}.