Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
l (t-3) y^prime prime+t y^prime+(ln |t|) y=0 y(1)=0 y^prime(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o maior intervalo onde o problema de valor inicial dado está bem definido. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar analisar onde os coeficientes da equação são contínuos, garantindo que exista uma solução única nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial e os valores iniciais. A equação é:
(t-3) y'' + t y' + (ln |t|) y = 0
com as condições iniciais:
y(1)=0 e y'(1)=1

Passo 3

Para garantir que existe uma solução única, precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo considerado. Vamos analisar os coeficientes:
  1. $ t - 3 $: É uma função polinomial, contínua em todos os $ t $, exceto onde o denominador seria zero, mas aqui não há denominador, então é contínua em $ \mathbb{R} $.
  2. $ t $: Também é uma função polinomial, contínua para todo $ t $.
  3. $ \ln |t| $: A função logaritmo natural é contínua quando seu argumento é positivo, ou seja, quando $ t > 0 $.

Passo 4

Agora, vamos verificar se há algum ponto onde a equação pode não estar definida. Observamos que:
  • $ t = 3 $: Apesar de $ t - 3 = 0 $ tornar o coeficiente de $ y’’ $ zero, isso não necessariamente causa um problema de definição, mas pode afetar a ordem da equação.
  • $ t = 0 $: Aqui, $ \ln |t| $ não está definido, pois não podemos ter o logaritmo de zero ou de um número negativo.

Passo 5

Dado que as condições iniciais são dadas em $ t = 1 $, que é maior que zero e diferente de 3, precisamos determinar o maior intervalo que contém $ t = 1 $ e onde todos os coeficientes são contínuos.
Como $ \ln |t| $ requer que $ t > 0 $ e queremos evitar o ponto $ t = 3 $ onde o coeficiente de $ y’’ $ pode causar um problema, o maior intervalo possível será entre 0 e 3.

Passo 6

Portanto, o maior intervalo onde o problema de valor inicial está bem definido é de $ t = 0 $ a $ t = 3 $.

Resposta

O maior intervalo no qual o problema de valor inicial está definido é $ 0 < t < 3 $.

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