Seja
a região em
limitada pela esfera
e o plano
com a orientação apontando para fora da esfera. Seja
o campo
Calcule a integral de superfície
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma região $ k $ no espaço tridimensional limitada por uma esfera dada por $ x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 9 $ e um plano definido por $ x^{2} + y^{2} + (z - 1) = 1 $. Queremos calcular a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial $ F $ sobre essa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de $ F $ com a integral de linha de $ F $ ao redor da borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de $ F $, ou $ \operatorname{rot} F $. O rotacional de um campo vetorial mede a tendência das partículas do campo de girar em torno de um ponto. Matemáticamente, para $ F(x, y, z) = (y, -x, e^{xz}) $, o rotacional é calculado usando a seguinte fórmula:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
Então, a primeira componente é $ 0 - 0 = 0 $.
- Segunda componente:
Então, a segunda componente é $ 0 - z e^{xz} = -z e^{xz} $.
- Terceira componente:
Então, a terceira componente é $ -1 - 1 = -2 $.
Portanto, o rotacional de $ F $ é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que nos diz que a integral de superfície do rotacional de $ F $ sobre $ k $ é igual à integral de linha de $ F $ ao longo da borda de $ k $. Matematicamente:
No entanto, observamos que a região $ k $ está limitada por uma esfera e um plano, formando uma superfície fechada. Para superfícies fechadas, a integral de superfície do rotacional de qualquer campo vetorial sempre será zero, segundo o teorema da divergência para o rotacional.
Passo 5
Portanto, sem precisar calcular a integral de linha, podemos concluir que:
Resposta
A integral de superfície é igual a zero.