Seja k a região em R^2 limitada pela esfera
x^2+y^2+(z-1)^2=9
e o plano x^2+y^2+(z-1)=1 com a orientação apontando para fora da esfera. Seja F: R^3 R^3 o campo
F(x, y, z)=(y,-x, e^x z)
Calcule a integral de superfície
integral duplak rot F d A

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma região $ k $ no espaço tridimensional limitada por uma esfera dada por $ x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 9 $ e um plano definido por $ x^{2} + y^{2} + (z - 1) = 1 $. Queremos calcular a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial $ F $ sobre essa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de $ F $ com a integral de linha de $ F $ ao redor da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de $ F $, ou $ \operatorname{rot} F $. O rotacional de um campo vetorial mede a tendência das partículas do campo de girar em torno de um ponto. Matemáticamente, para $ F(x, y, z) = (y, -x, e^{xz}) $, o rotacional é calculado usando a seguinte fórmula:
F

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
partialpartial y e^xz = 0 (pois não depende de y) ã
partialpartial z (-x) = 0 (pois não depende de z) ã
Então, a primeira componente é $ 0 - 0 = 0 $.
  1. Segunda componente:
0 - 0 = 0 ã
partialpartial z y = 0 (pois não depende de z)
Então, a segunda componente é $ 0 - z e^{xz} = -z e^{xz} $.
  1. Terceira componente:
partialpartial x e^xz = z e^xz
0 - z e^xz = -z e^xz
Então, a terceira componente é $ -1 - 1 = -2 $.
Portanto, o rotacional de $ F $ é:
partialpartial x (-x) = -1

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que nos diz que a integral de superfície do rotacional de $ F $ sobre $ k $ é igual à integral de linha de $ F $ ao longo da borda de $ k $. Matematicamente:
F
No entanto, observamos que a região $ k $ está limitada por uma esfera e um plano, formando uma superfície fechada. Para superfícies fechadas, a integral de superfície do rotacional de qualquer campo vetorial sempre será zero, segundo o teorema da divergência para o rotacional.

Passo 5

Portanto, sem precisar calcular a integral de linha, podemos concluir que:
integral duplak rot F , dA = 0

Resposta

A integral de superfície é igual a zero.

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