Uma função diferenciável f tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 5 na direção i-2 j e igual a -2 na direção 2 i+j. Calcule:
(1,0) partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá que uma função diferenciável $ f $ tem, no ponto $ (1,1) $, derivadas direcionais específicas em duas direções diferentes. O que a gente precisa é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional e como ela se relaciona com as derivadas parciais através do gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de $ f $ na direção de um vetor $ \vec{u} $ é dada por:
f
onde $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $ e $ \hat{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{u} $.

Passo 3

Vamos identificar as direções dadas e transformar esses vetores em vetores unitários. As direções são $ \vec{i} - 2\vec{j} $ e $ 2\vec{i} + \vec{j} $.
Para o primeiro vetor:
i - 2j
Para o segundo vetor:
2i + j

Passo 4

Sabemos que as derivadas direcionais são dadas por:
Du1 f = 5 Du2 f = -2
Substituindo na fórmula da derivada direcional:
nabla f cdot u1 = 5 nabla f cdot u2 = -2
Vamos chamar as derivadas parciais de $ f $ de $ f_x $ e $ f_y $. Então, o gradiente é $ \nabla f = (f_x, f_y) $.

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
fxraiz5 - 2fyraiz5 = 5 2fxraiz5 + fyraiz5 = -2
Podemos multiplicar ambas as equações por $ \sqrt{5} $ para simplificar:
raiz5
Agora, vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos isolar $ f_x $:
fx - 2fy = 5raiz5 (1) 2fx + fy = -2raiz5 (2)
Substituindo na equação (2):
fx
Agora, substituindo $ f_y $ na expressão de $ f_x $:
fx = 5raiz5 + 2fy

Resposta

partial fpartial x(1,1) = raiz55 e partial fpartial y(1,1) = -125raiz5

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