Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 5 na direção
e igual a -2 na direção
. Calcule:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá que uma função diferenciável $ f $ tem, no ponto $ (1,1) $, derivadas direcionais específicas em duas direções diferentes. O que a gente precisa é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional e como ela se relaciona com as derivadas parciais através do gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de $ f $ na direção de um vetor $ \vec{u} $ é dada por:
onde $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $ e $ \hat{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{u} $.
Passo 3
Vamos identificar as direções dadas e transformar esses vetores em vetores unitários. As direções são $ \vec{i} - 2\vec{j} $ e $ 2\vec{i} + \vec{j} $.
Para o primeiro vetor:
Para o segundo vetor:
Passo 4
Sabemos que as derivadas direcionais são dadas por:
Substituindo na fórmula da derivada direcional:
Vamos chamar as derivadas parciais de $ f $ de $ f_x $ e $ f_y $. Então, o gradiente é $ \nabla f = (f_x, f_y) $.
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Podemos multiplicar ambas as equações por $ \sqrt{5} $ para simplificar:
Agora, vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos isolar $ f_x $:
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo $ f_y $ na expressão de $ f_x $: