Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção: 2 0 0 4
Nenhuma das demais alternativas -infty
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar o maior intervalo no qual essa equação tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Para isso, vamos precisar entender sobre a existência e unicidade de soluções de equações diferenciais e analisar os pontos onde os coeficientes da equação podem não ser contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
t(t - 4) y'' - 3t y' + 4t = 2
E as condições iniciais são:
y(-3) = 0 e y'(-3) = -1
Passo 3
Para facilitar, vamos reescrever a equação na forma padrão:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = G(t)
Dividindo toda a equação por $ t(t - 4) $, temos:
t(t - 4)
Simplificando:
y'' - 3tt(t - 4) y' + 4tt(t - 4) y = 2t(t - 4)
Então, identificamos:
y'' - 3t - 4 y' + 4t - 4 y = 2t(t - 4)
Passo 4
Agora, vamos lembrar do Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de segunda ordem. Ele nos diz que, se os coeficientes $ P(t) $, $ Q(t) $ e $ G(t) $ forem contínuos em um intervalo que contenha o ponto inicial $ t = -3 $, então existe uma única solução nesse intervalo.
Passo 5
Vamos analisar onde os coeficientes $ P(t) $, $ Q(t) $ e $ G(t) $ podem não ser contínuos. Olhando para as frações:
$ P(t) = -\frac{3}{t - 4} $ tem uma descontinuidade em $ t = 4 $
$ Q(t) = \frac{4}{t - 4} $ também tem uma descontinuidade em $ t = 4 $
$ G(t) = \frac{2}{t(t - 4)} $ tem descontinuidades em $ t = 0 $ e $ t = 4 $
Portanto, os pontos onde a continuidade pode falhar são $ t = 0 $ e $ t = 4 $.
Passo 6
Nosso ponto inicial é $ t = -3 $. Queremos encontrar o maior intervalo em torno de $ t = -3 $ onde os coeficientes são contínuos. Observando os pontos de descontinuidade:
$ t = -3 $ está à esquerda de $ t = 0 $
Entre $ t = -\infty $ e $ t = 0 $, não há descontinuidades nos coeficientes
Logo, o intervalo mais extenso que contém $ t = -3 $ e onde todos os coeficientes são contínuos é: