Uma função diferenciável f tem, no ponto (1,2), derivada direcional igual a 3 na direção i+2 j e igual a -2 na direção 2 i-j. Calcule:
(1, 0) nabla f(1,2).

Passo 1

O enunciado diz que uma função diferenciável f no ponto (1,2) tem derivadas direcionais D_{u_1}f = 3 na direção do vetor vec i + 2vec j e D_{u_2}f = -2 na direção de 2vec i - vec j. Vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente para encontrar nabla f(1,2) e depois calcular o produto com (1,0).

Passo 2

Lembrando que a derivada direcional de f na direção do vetor unitário u é Du f = nabla f cdot u. Primeiro normalizamos os vetores dados:
u1 = (1,2)raiz1^2+2^2 = (1,2)raiz5, u2 = (2,-1)raiz2^2+(-1)^2 = (2,-1)raiz5
Chamando nabla f(1,2) = (a,b), temos as equações

Passo 3

A multiplicar cada produto escalar por raiz5 para eliminar o denominador, obtemos o sistema:
a + 2b = 3raiz5,
2a - b = -2raiz5

Passo 4

Resolvendo esse sistema: da segunda equação vem b = 2a + 2raiz5. Substituindo na primeira:
a + 2(2a + 2raiz5) = 3raiz5
a + 4a + 4raiz5 = 3raiz5 $$
5a = -\sqrt5 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{\sqrt5}{5}.
5a = -raiz5 Rightarrow a = -raiz55 ã
b = 2\Bigl(-\frac{\sqrt5}{5}\Bigr) + 2\sqrt5 = -\frac{2\sqrt5}{5} + \frac{10\sqrt5}{5} = \frac{8\sqrt5}{5}.
$$

Passo 5

Agora, a derivada direcional na direção de vec i = (1,0) é
D(1,0)f = nabla f(1,2) cdot (1,0) = a = -raiz55

Resposta

-\frac{\sqrt5}{5}

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