Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,2), derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -2 na direção
. Calcule:
.
Passo 1
O enunciado diz que uma função diferenciável f no ponto (1,2) tem derivadas direcionais D_{u_1}f = 3 na direção do vetor
e D_{u_2}f = -2 na direção de
. Vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente para encontrar
e depois calcular o produto com (1,0).
Passo 2
Lembrando que a derivada direcional de f na direção do vetor unitário
é
. Primeiro normalizamos os vetores dados:
Chamando
, temos as equações
Passo 3
A multiplicar cada produto escalar por
para eliminar o denominador, obtemos o sistema:
Passo 4
Resolvendo esse sistema: da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
5a = -\sqrt5 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{\sqrt5}{5}.
b = 2\Bigl(-\frac{\sqrt5}{5}\Bigr) + 2\sqrt5 = -\frac{2\sqrt5}{5} + \frac{10\sqrt5}{5} = \frac{8\sqrt5}{5}.
$$
Passo 5
Agora, a derivada direcional na direção de
é
Resposta
-\frac{\sqrt5}{5}