Sobre uma função diferenciável
, sabe-se que
para todo vetor unitário
. Determine:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função diferenciável $ f(x, y) $ e nos dá a derivada direcional nessa função para qualquer vetor unitário $ \vec{u} = (a, b) $. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em $ (1,0) $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ e $ \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) $.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas direcionais e derivadas parciais.
O que vamos precisar: Entender a relação entre derivadas direcionais e derivadas parciais de uma função diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Para uma função diferenciável $ f(x, y) $, a derivada direcional na direção do vetor unitário $ \vec{u} = (a, b) $ é dada por:
No nosso caso, sabemos que:
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula da derivada direcional no ponto $ (1,0) $:
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ e $ \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) $. Para isso, vamos escolher valores específicos para $ a $ e $ b $ que simplifiquem a equação.
Passo 4
Primeira escolha: $ a = 1 $ e $ b = 0 $ (um vetor na direção do eixo $ x $).
Substituindo na equação:
Simplificando:
Portanto:
Passo 5
Segunda escolha: $ a = 0 $ e $ b = 1 $ (um vetor na direção do eixo $ y $).
Substituindo na equação:
Simplificando:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais no ponto $ (1,0) $ são: