Sobre uma função diferenciável f(x, y), sabe-se que
Du f(1,0)=4 a^2 b-3 a+4 b^3
para todo vetor unitário u=(a, b). Determine:
(1, 0) partial fpartial x(1,0) e partial fpartial y(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função diferenciável $ f(x, y) $ e nos dá a derivada direcional nessa função para qualquer vetor unitário $ \vec{u} = (a, b) $. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em $ (1,0) $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ e $ \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) $.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas direcionais e derivadas parciais.
O que vamos precisar: Entender a relação entre derivadas direcionais e derivadas parciais de uma função diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Para uma função diferenciável $ f(x, y) $, a derivada direcional na direção do vetor unitário $ \vec{u} = (a, b) $ é dada por:
f(x, y)
No nosso caso, sabemos que:
u = (a, b)

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da derivada direcional no ponto $ (1,0) $:
(1,0)
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ e $ \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) $. Para isso, vamos escolher valores específicos para $ a $ e $ b $ que simplifiquem a equação.

Passo 4

Primeira escolha: $ a = 1 $ e $ b = 0 $ (um vetor na direção do eixo $ x $).
Substituindo na equação:
a = 1
Simplificando:
b = 0
Portanto:
x

Passo 5

Segunda escolha: $ a = 0 $ e $ b = 1 $ (um vetor na direção do eixo $ y $).
Substituindo na equação:
a = 0
Simplificando:
b = 1
Portanto:
y

Resposta

As derivadas parciais no ponto $ (1,0) $ são:
(1,0)

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