determine o maior intervalo na vizinhança de x_{0} onde se tem certeza que - PVI (problema de valor inicial) dado tem solução única.
\left(x^{2}-4\right) y^{\prime \prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+4 x y=\frac{1}{x} ; \quad y(-1)=-1 ; \quad y^{\prime}(-1)=1 ; \quad y^{\prime \prime}(-1)=0

Passo 1

O enunciado dá o PVI com a equação e as condições iniciais seguintes:
\left(x^{2}-4\right) y^{\prime\prime\prime}+(x-1) y^{\prime}+4 x y=\frac{1}{x}
com
y(-1)=-1,\qquad y^{\prime}(-1)=1,\qquad y^{\prime\prime}(-1)=0.
O ponto inicial é \,x_{0}=-1\,. A pergunta é: determinar o maior intervalo em uma vizinhança de \,x_{0}\, onde temos certeza de que o PVI tem solução única.

Passo 2

Regra-chave (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de ordem n): se a equação linear de ordem n estiver na forma padrão
y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{0}(x)y=g(x),
e se as funções p_{k}(x) e g(x) forem contínuas em um intervalo aberto contendo x_{0}, então existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais em algum intervalo aberto contendo x_{0}. Portanto, para aplicar o teorema devemos escrever a equação dada na forma padrão dividindo pelo coeficiente do maior termo, e verificar onde as funções resultantes são contínuas.

Passo 3

Dividimos a equação original por \,x^{2}-4\, (desde que esse fator não seja zero) para obter a forma padrão:
y^{\prime\prime\prime}+\frac{x-1}{x^{2}-4}\,y^{\prime}+\frac{4x}{x^{2}-4}\,y=\frac{1}{x(x^{2}-4)}.
Aqui as “funções coeficientes” são
p_{2}(x)=0,\qquad p_{1}(x)=\frac{x-1}{x^{2}-4},\qquad p_{0}(x)=\frac{4x}{x^{2}-4},
e o termo não homogêneo é
g(x)=\frac{1}{x(x^{2}-4)}.
Para que o teorema valha, precisamos que p_{1},p_{0} e g sejam contínuas no intervalo que escolhermos.

Passo 4

As descontinuidades aparecem onde os denominadores são zero. Os pontos problemáticos são as raízes de x^{2}-4 e de x, ou seja:
x^{2}-4=0\Rightarrow x=\pm 2,\qquad x=0.
Logo as singularidades (onde as funções coeficientes e g não são contínuas) são x=-2,\;x=0,\;x=2.

Passo 5

Queremos o maior intervalo aberto que contenha \,x_{0}=-1\, e que não contenha nenhuma dessas singularidades. Os pontos mais próximos de -1 entre as singularidades são x=-2 e x=0, ambos à distância 1 de -1. Portanto o maior intervalo aberto, contendo -1 e sem singularidades, é
(-2,0).
Nesse intervalo todas as funções p_{1},p_{0} e g são contínuas, então o teorema garante existência e unicidade da solução do PVI em todo esse intervalo.

Resposta

(-2,0)

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