determine o maior intervalo na vizinhança de
onde se tem certeza que - PVI (problema de valor inicial) dado tem solução única.
Passo 1
O enunciado dá o PVI com a equação e as condições iniciais seguintes:
com
O ponto inicial é
. A pergunta é: determinar o maior intervalo em uma vizinhança de
onde temos certeza de que o PVI tem solução única.
Passo 2
Regra-chave (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de ordem
): se a equação linear de ordem
estiver na forma padrão
e se as funções
e
forem contínuas em um intervalo aberto contendo
, então existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais em algum intervalo aberto contendo
. Portanto, para aplicar o teorema devemos escrever a equação dada na forma padrão dividindo pelo coeficiente do maior termo, e verificar onde as funções resultantes são contínuas.
Passo 3
Dividimos a equação original por
(desde que esse fator não seja zero) para obter a forma padrão:
Aqui as “funções coeficientes” são
e o termo não homogêneo é
Para que o teorema valha, precisamos que
e
sejam contínuas no intervalo que escolhermos.
Passo 4
As descontinuidades aparecem onde os denominadores são zero. Os pontos problemáticos são as raízes de
e de
, ou seja:
Logo as singularidades (onde as funções coeficientes e
não são contínuas) são
.
Passo 5
Queremos o maior intervalo aberto que contenha
e que não contenha nenhuma dessas singularidades. Os pontos mais próximos de
entre as singularidades são
e
, ambos à distância
de
. Portanto o maior intervalo aberto, contendo
e sem singularidades, é
Nesse intervalo todas as funções
e
são contínuas, então o teorema garante existência e unicidade da solução do PVI em todo esse intervalo.