Determine os pontos extremos de: w=x^2+y^2+z^2 tais que 3 x-2 y+z-4=0.

Passo 1

O problema é encontrar extremos de w = x^2 + y^2 + z^2 sob a restrição 3x - 2y + z - 4 = 0. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, construindo o Lagrangiano L(x,y,z,lambda) = w - lambda,(3x - 2y + z - 4).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero: partialLpartial x = 2x - 3lambda = 0, partialLpartial y = 2y + 2lambda = 0, partialLpartial z = 2z - lambda = 0 e partialLpartial lambda = -(3x - 2y + z - 4) = 0.

Passo 3

Das três primeiras equações isolamos x, y, z em função de lambda: de 2x = 3lambda vem x = tfrac3lambda2; de 2y = -2lambda vem y = -lambda; e de 2z = lambda vem z = tfraclambda2.

Passo 4

Substituímos essas expressões na restrição 3x - 2y + z - 4 = 0. Temos
3l(tfrac3lambda2r) - 2(-lambda) + tfraclambda2 - 4 = 0
que reduz para 7lambda - 4 = 0, de onde lambda = tfrac47.

Passo 5

Com lambda = tfrac47 calculamos:
x = tfrac32 cdot tfrac47 = tfrac67, y = -tfrac47, z = tfrac12 cdot tfrac47 = tfrac27

Passo 6

Calculamos o valor de w nesse ponto:
w = l(tfrac67r)^2 + l(-tfrac47r)^2 + l(tfrac27r)^2 = tfrac5649 = tfrac87
Como a função é positiva definida e a restrição é linear, esse ponto é um mínimo global e não existe máximo.

Resposta

Ponto de mínimo: l(tfrac67, -tfrac47, tfrac27r) com valor mínimo w = tfrac87. Não existe valor máximo.

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