Determine os pontos extremos de:
tais que
.
Passo 1
O problema é encontrar extremos de
sob a restrição
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, construindo o Lagrangiano
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
,
,
e
.
Passo 3
Das três primeiras equações isolamos
em função de
: de
vem
; de
vem
; e de
vem
.
Passo 4
Substituímos essas expressões na restrição
. Temos
que reduz para
, de onde
.
Passo 5
Com
calculamos:
Passo 6
Calculamos o valor de
nesse ponto:
Como a função é positiva definida e a restrição é linear, esse ponto é um mínimo global e não existe máximo.
Resposta
Ponto de mínimo:
com valor mínimo
. Não existe valor máximo.