Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
17 sumn=1^infty(-1)^n-1 raiz[3]nn+1

Passo 1

Aqui temos a série alternante
17sumn=1^infty(-1)^n-1raiz[3]nn+1
O conteúdo é teste de convergência de séries, e vamos usar o teste da p-série para a convergência absoluta e o critério de Leibniz para a convergência condicional.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, analisamos
17sumn=1^inftyraiz[3]nn+1=17sumn=1^inftyn^1/3n+1
Para grandes n, n+1sim n, então o termo geral se comporta como
n^1/3n=n^-2/3
Como sum n^-2/3 é uma p-série com p=2/3<=1, ela diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternante original, com bn=n^1/3n+1. Observamos dois pontos:
  1. bn>0 para todo n.
  2. bnto0 quando ntoinfty, pois n^1/3/(n+1)sim n^-2/3to0.
  3. Para n grande, bn+1 (pois n^-2/3 é decrescente).
    Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 4

Como não converge absolutamente mas converge pelo teste de Leibniz, a série é convergente condicionalmente.

Resposta

Convergente condicionalmente.

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