Determine a maior raiz real da função f dada por
f(x)=2 x^{3}-11,7 x^{2}+17,7 x-5
(a) usando três iterações do método de Newton-Raphson, e valor inicial $x_{0}=3.

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz real de
f(x)=2x^{3}-11,7x^{2}+17,7x-5
usando três iterações do método de Newton–Raphson com valor inicial x_{0}=3. O método usa a sequência
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 2

Calculamos a derivada da função:
f'(x)=6x^{2}-23,4x+17,7.

Passo 3

Para x_{0}=3:
f(3)=2\cdot3^{3}-11,7\cdot3^{2}+17,7\cdot3-5=-3,2,
f'(3)=6\cdot3^{2}-23,4\cdot3+17,7=1,5,
x_{1}=3-\frac{-3,2}{1,5}=5,1333.

Passo 4

Para x_{1}=5,1333:
f(5,1333)\approx48,09,
f'(5,1333)\approx55,70,
x_{2}=5,1333-\frac{48,09}{55,70}\approx4,2695.

Passo 5

Para x_{2}=4,2695:
f(4,2695)\approx12,90,
f'(4,2695)\approx27,11,
x_{3}=4,2695-\frac{12,90}{27,11}\approx3,7934.

Resposta

A maior raiz real aproximada após três iterações é
x_{3}\approx3,7934.

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