(Ref. [1], exemplo 7.2) Use quatro iterações do método de Müller com aproximações x_{0}=4,5, x_{1}=5,5 e x_{2}=5 para determinar uma raíz da função f dada por
f(x)=x^{3}-13 x-12

Passo 1

O enunciado pede para usar quatro iterações do método de Müller a fim de aproximar uma raiz da função
f(x)=x^{3}-13\,x-12
começando com as aproximações iniciais \,x_{0}=4{,}5,\;x_{1}=5{,}5,\;x_{2}=5.
Vamos aplicar o procedimento de ajuste de uma parábola que passa por (x_{0},f(x_{0})), (x_{1},f(x_{1})) e (x_{2},f(x_{2})) e usar a raiz dessa parábola como próxima aproximação.

Passo 2

Em cada iteração, dados três pontos \,x_{k-2},x_{k-1},x_{k} com valores
f_{k-2}=f(x_{k-2}),\quad f_{k-1}=f(x_{k-1}),\quad f_{k}=f(x_{k}),
calculamos
h_{1}=x_{k-1}-x_{k-2},\quad h_{2}=x_{k}-x_{k-1},
\delta_{1}=\frac{f_{k-1}-f_{k-2}}{h_{1}},\quad \delta_{2}=\frac{f_{k}-f_{k-1}}{h_{2}},\quad d=\frac{\delta_{2}-\delta_{1}}{h_{2}+h_{1}}.
Definimos então os coeficientes da parábola
a=d,\quad b=\delta_{2}+h_{2}\,d,\quad c=f_{k},
e a próxima aproximação
x_{k+1}=x_{k}+\frac{-2\,c}{\,b\pm\sqrt{b^{2}-4\,a\,c}\,}\!,
escolhendo o sinal que torne o denominador de maior módulo para melhorar a estabilidade numérica.

Passo 3

Primeira iteração k=2 gera x_{3}:
Calculamos inicialmente
f(x_{0})=4{,}5^{3}-13\cdot4{,}5-12=20{,}625,
f(x_{1})=5{,}5^{3}-13\cdot5{,}5-12=82{,}875,
f(x_{2})=5^{3}-13\cdot5-12=48.
Em seguida
h_{1}=5{,}5-4{,}5=1,\quad h_{2}=5-5{,}5=-0{,}5,
\delta_{1}=\frac{82{,}875-20{,}625}{1}=62{,}25,\quad \delta_{2}=\frac{48-82{,}875}{-0{,}5}=69{,}75,\quad d=\frac{69{,}75-62{,}25}{1+(-0{,}5)}=15.
Logo
a=15,\quad b=69{,}75+(-0{,}5)\cdot15=62{,}25,\quad c=48,
\Delta=\sqrt{62{,}25^{2}-4\cdot15\cdot48}\approx31{,}532.
Escolhendo b+\Delta no denominador, obtemos
x_{3}=5+\frac{-2\cdot48}{62{,}25+31{,}532}\approx3{,}9761.

Passo 4

Segunda iteração k=3 gera x_{4}, agora com (x_{1},x_{2},x_{3})=(5{,}5,5,3{,}9761):
f_{1}=82{,}875,\;f_{2}=48,\;f_{3}\approx-0{,}8286,
h_{1}=5-5{,}5=-0{,}5,\quad h_{2}=3{,}9761-5=-1{,}0239,
\delta_{1}=69{,}75,\quad \delta_{2}=\frac{-0{,}8286-48}{-1{,}0239}\approx47{,}68,\quad d\approx14{,}49,
a\approx14{,}49,\quad b\approx47{,}68+(-1{,}0239)\cdot14{,}49\approx32{,}84,\quad c\approx-0{,}8286,
\Delta\approx\sqrt{32{,}84^{2}-4\cdot14{,}49\cdot(-0{,}8286)}\approx33{,}586,
x_{4}=3{,}9761+\frac{-2\cdot(-0{,}8286)}{32{,}84+33{,}586}\approx4{,}00105.

Passo 5

Terceira iteração k=4 gera x_{5}, com (x_{2},x_{3},x_{4})=(5,3{,}9761,4{,}00105):
f_{2}=48,\;f_{3}\approx-0{,}8286,\;f_{4}\approx0{,}03676,
h_{1}=-1{,}0239,\quad h_{2}=0{,}02495,
\delta_{1}\approx47{,}68,\quad \delta_{2}\approx34{,}68,\quad d\approx13{,}01,
a\approx13{,}01,\quad b\approx34{,}68+0{,}02495\cdot13{,}01\approx35{,}005,\quad c\approx0{,}03676,
\Delta\approx\sqrt{35{,}005^{2}-4\cdot13{,}01\cdot0{,}03676}\approx34{,}966,
x_{5}=4{,}00105+\frac{-2\cdot0{,}03676}{35{,}005+34{,}966}\approx4{,}00000.

Passo 6

Quarta iteração k=5 gera x_{6}, com (x_{3},x_{4},x_{5})=(3{,}9761,4{,}00105,4):
f_{3}\approx-0{,}8286,\;f_{4}\approx0{,}03676,\;f_{5}=0,
h_{1}=0{,}02495,\quad h_{2}=-0{,}00105,
\delta_{1}\approx34{,}68,\quad \delta_{2}\approx35{,}01,\quad d\approx13{,}79,
a\approx13{,}79,\quad b\approx35{,}01+(-0{,}00105)\cdot13{,}79\approx34{,}995,\quad c=0,
\Delta=\sqrt{34{,}995^{2}-4\cdot13{,}79\cdot0} =34{,}995,
x_{6}=4+\frac{-2\cdot0}{34{,}995+34{,}995}=4.

Resposta

Aproximando em quatro iterações pelo método de Müller, obtemos
x_{6}\approx4,
ou seja, a raiz aproximada de f(x)=x^{3}-13x-12 é 4.

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