Determine a maior região do plano x y na qual a equação diferencial tem uma única solução passando pelo ponto ( x0, y0 ) nesta região.
d yd x=y^23

Passo 1

A equação diferencial é dydx=y^2/3. Queremos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf, que exige que a função f(x,y) e sua derivada parcial em relação a y sejam contínuas numa região contendo o ponto inicial (x0,y0). Aqui identificamos f(x,y)=y^2/3. Vamos calcular a derivada parcial: partial fpartial y=23y^-1/3.

Passo 2

A função f(x,y)=y^2/3 é contínua em todo o plano (x,y), mas a derivada partial f/partial y=(2/3)y^-1/3 não é contínua em y=0, pois explode aí.

Passo 3

Para garantir unicidade, precisamos escolher uma região onde partial f/partial y seja contínua. Se y0>0, podemos tomar o semi-plano aberto y>0. Se y0<0, o semi-plano aberto y<0. Nessas regiões f e partial f/partial y são contínuas.

Passo 4

Se y0=0, não existe nenhuma vizinhança aberta em que partial f/partial y seja contínua, logo não há garantia de unicidade nesse caso.

Resposta

Para y0>0, a maior região é o semi-plano aberto (x,y)colon y>0; para y0<0, a maior região é o semi-plano aberto (x,y)colon y<0; se y0=0, não há região que garanta unicidade da solução.

Exercícios relacionados