Determine a maior região do plano
na qual a equação diferencial tem uma única solução passando pelo ponto (
) nesta região.
Passo 1
A equação diferencial é
. Queremos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf, que exige que a função
e sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas numa região contendo o ponto inicial
. Aqui identificamos
. Vamos calcular a derivada parcial:
.
Passo 2
A função
é contínua em todo o plano
, mas a derivada
não é contínua em
, pois explode aí.
Passo 3
Para garantir unicidade, precisamos escolher uma região onde
seja contínua. Se
, podemos tomar o semi-plano aberto
. Se
, o semi-plano aberto
. Nessas regiões
e
são contínuas.
Passo 4
Se
, não existe nenhuma vizinhança aberta em que
seja contínua, logo não há garantia de unicidade nesse caso.
Resposta
Para
, a maior região é o semi-plano aberto
; para
, a maior região é o semi-plano aberto
; se
, não há região que garanta unicidade da solução.