Considere a seguinte função
f(x)=cl x^2-1, & se -1 <= x<0 2 x, & se 0
e faça ou responda:
h) f é contınua em x=2 ? Caso negativo, qual valor deve ser atribuıdo para f(2) para tornar a fun ção estendida contınua em x=2 ?

Passo 1

A questão pede para verificar se a função por partes é contínua em x=2 e, em caso negativo, atribuir um valor a f(2) que torne a extensão contínua em 2. O conteúdo aqui é limites laterais e continuidade de funções definidas por partes.

Passo 2

Para x<2 (vindos da esquerda), usamos a definição f(x) = -2x + 4 válida em 1 < x < 2. Então calculamos o limite à esquerda:
limxto2^-f(x)=limxto2^-(-2x+4)=-2cdot2+4=0

Passo 3

Para x>2 (vindos da direita), usamos a definição f(x)=0 válida em 2 < x < 3. O limite à direita é
limxto2^+f(x)=limxto2^+0=0

Passo 4

Como os limites laterais coincidem (ambos iguais a 0), temos limxto2f(x)=0. Porém, na definição original não há valor atribuído a f(2), logo f não está contínua em x=2.

Passo 5

Para obter continuidade em x=2, basta definir o valor de f(2) igual ao limite, ou seja, f(2)=0. Dessa forma a função estendida fica contínua em x=2.

Resposta

Para tornar a função contínua em x=2 deve-se definir f(2)=0.

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